Détente brusque d’un gaz
1 • Le gaz étant homogène, la tranche dx de gaz a une
masse dm = m gaz
et une énergie cinétique
d K =
dm v 2 (x, t) .
On en déduit : d K =
m gaz
•
X 2
et K gaz =
x
x = 0
x dx d’où :
2 • a. Le gaz contenu dans le cylindre subit une détente
adiabatique, supposée quasistatique (puisque P et T sont
définis à tout instant). Connaissant le rapport des volumes
(le volume double), on applique les relations de
LAPLACE :
T 2 = T 0
γ –1 soit T 2 = 227 K
P 2 = P 0
γ soit P 1 = 1,52 bar .
La vitesse maximale du piston est obtenue juste avant le
choc sur la butée. Effectuons donc un bilan d’énergie entre
l’instant initial et juste avant le choc, lorsque le piston arrive en X 2 .
La force exercée par l’atmosphère sur le piston est simple
à exprimer, contrairement à la force exercée par le piston
sur le gaz situé à l’intérieur. Considérons donc le système
{gaz + cylindre + piston}.
Le cylindre et le piston sont ici assimilés à des phases
condensées. En l’absence d’échanges thermiques, leur
énergie interne est constante, d’où :
∆U = ∆U gaz = n gaz C V, m (T 2 – T 1 ) .
Les échanges thermiques étant nuls et le seul travail étant
celui de l’atmosphère (négatif), le bilan d’énergie s’écrit :
∆U + ∆ K gaz + ∆ K piston = W atmosphère
n gaz C V, m (T 2 – T 1 ) + m gaz + m (V max
2 – 0) =
– P 0 πa 2 (X 2 – X 1 )
avec n gaz =
=
et m gaz = M n gaz .
On obtient après simplifications :
1 –
– V max
2
ρe +
= P 0 X 1
V max
2 =.
2 P 0 X 1 5 – γ – 2 γ
4
–1
(γ – 1) ρe +
P 0
2R
X
T
1
0
M
P 0 M X 1
2 R T 0
1
2
1
2 y –1
4P 0 X 1
y – 1
4P 0 πa 2 X 1
R T 0
P 1 V 1
R T 1
1
2
1
4
1
2
1
2
m gaz
•
X 2
2X 2
x dx
X 2
1
2
1
2
dx
X(t)
8
Pour une estimation grossière, on peut supposer que la
vitesse moyenne est de l’ordre de V max , d’où :
τ 0 ≈
b. V max = 48 m.s –1 ; τ 0 ≈ 4 ms .
Les hypothèses sont valides si c son τ 0 >> X 1 avec
c son ≈ 3 . 10 2 m.s –1 (T étant variable, on ne peut attribuer
de valeur précise à c son ) .
On obtient c son t 0 ≈ 1,2 m . On est à la limite de validité
de l’hypothèse quasistatique.
c. Remarquons que, entre le choc et l’état de repos, on ne
considère plus le piston comme un système rigide : Le
choc provoque des déformations et des vibrations qui, en
s’amortissant, dissipent de la chaleur. Le raisonnement qui
suit permet de ne pas avoir à étudier le mécanisme de cette
conversion d’énergie mécanique en énergie interne.
Effectuons des bilans d’énergie entre «juste avant le
choc » et l’état final.
• Le cylindre restant parfaitement rigide et immobile, il ne
fournit aucun travail. Le piston ne reçoit donc ni travail ni
échange thermique pendant la durée considérée. Le bilan
d’énergie pour le piston s’écrit donc :
∆U piston + m(0 – V max
2 ) = 0
d’où : m c(T 3 piston – T 0 ) = m V max
2
T 3 piston = T 0 +
. A.N : T 3 piston – T 0 = 1,1 K .
• Pendant cette phase, le gaz est isolé :
m gaz V max
2 = ∆U gaz = n gaz
(T 3 gaz – T 2 ) .
T 3 gaz – T 2 =
A.N. :T 3 gaz –T 2 = 0,79 K .
3 • Le gaz subit la même détente adiabatique quasistatique que dans l’hypothèse sans frottement ; T 2 est donc
inchangée.
T 3 gaz est légèrement différente en raison de la vitesse plus
faible : T 3 gaz – T 2 = 0,14 K .
Faisons un bilan d’énergie pour le système {cylindre +piston + gaz} entre l’état initial et l’état final de repos : ∆U gaz
+ ∆U piston + ∆U cylindre = W atmosphère avec ∆U cylindre = 0
(par hypothèse, le cylindre ne s’échauffe pas).
Les frottements se manifestent par des échanges énergétiques entre le cylindre et le piston. Ils n’interviennent
donc pas dans un bilan relatif à un système qui inclut ces
deux éléments.
n gaz
(T 3 gaz – T 0 ) + m c(T 3 piston – T 0 ) =
– P 0 πa 2 (X 2 – X 1 )
R
γ – 1
(γ – 1)M V max
2
4R
R
γ – 1
1
4
V max
2
c
1
2
1
2
X 2 – X 1
V max
CORRIGÉS
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
246
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
K gfaz (t) =
m gaz
•
X 2 (t)
1
4
1 • Le gaz étant homogène, la tranche dx de gaz a une
masse dm = m gaz
et une énergie cinétique
d K =
dm v 2 (x, t) .
On en déduit : d K =
m gaz
•
X 2
et K gaz =
x
x = 0
x dx d’où :
2 • a. Le gaz contenu dans le cylindre subit une détente
adiabatique, supposée quasistatique (puisque P et T sont
définis à tout instant). Connaissant le rapport des volumes
(le volume double), on applique les relations de
LAPLACE :
T 2 = T 0
γ –1 soit T 2 = 227 K
P 2 = P 0
γ soit P 1 = 1,52 bar .
La vitesse maximale du piston est obtenue juste avant le
choc sur la butée. Effectuons donc un bilan d’énergie entre
l’instant initial et juste avant le choc, lorsque le piston arrive en X 2 .
La force exercée par l’atmosphère sur le piston est simple
à exprimer, contrairement à la force exercée par le piston
sur le gaz situé à l’intérieur. Considérons donc le système
{gaz + cylindre + piston}.
Le cylindre et le piston sont ici assimilés à des phases
condensées. En l’absence d’échanges thermiques, leur
énergie interne est constante, d’où :
∆U = ∆U gaz = n gaz C V, m (T 2 – T 1 ) .
Les échanges thermiques étant nuls et le seul travail étant
celui de l’atmosphère (négatif), le bilan d’énergie s’écrit :
∆U + ∆ K gaz + ∆ K piston = W atmosphère
n gaz C V, m (T 2 – T 1 ) + m gaz + m (V max
2 – 0) =
– P 0 πa 2 (X 2 – X 1 )
avec n gaz =
=
et m gaz = M n gaz .
On obtient après simplifications :
1 –
– V max
2
ρe +
= P 0 X 1
V max
2 =.
2 P 0 X 1 5 – γ – 2 γ
4
–1
(γ – 1) ρe +
P 0
2R
X
T
1
0
M
P 0 M X 1
2 R T 0
1
2
1
2 y –1
4P 0 X 1
y – 1
4P 0 πa 2 X 1
R T 0
P 1 V 1
R T 1
1
2
1
4
1
2
1
2
m gaz
•
X 2
2X 2
x dx
X 2
1
2
1
2
dx
X(t)
8
Pour une estimation grossière, on peut supposer que la
vitesse moyenne est de l’ordre de V max , d’où :
τ 0 ≈
b. V max = 48 m.s –1 ; τ 0 ≈ 4 ms .
Les hypothèses sont valides si c son τ 0 >> X 1 avec
c son ≈ 3 . 10 2 m.s –1 (T étant variable, on ne peut attribuer
de valeur précise à c son ) .
On obtient c son t 0 ≈ 1,2 m . On est à la limite de validité
de l’hypothèse quasistatique.
c. Remarquons que, entre le choc et l’état de repos, on ne
considère plus le piston comme un système rigide : Le
choc provoque des déformations et des vibrations qui, en
s’amortissant, dissipent de la chaleur. Le raisonnement qui
suit permet de ne pas avoir à étudier le mécanisme de cette
conversion d’énergie mécanique en énergie interne.
Effectuons des bilans d’énergie entre «juste avant le
choc » et l’état final.
• Le cylindre restant parfaitement rigide et immobile, il ne
fournit aucun travail. Le piston ne reçoit donc ni travail ni
échange thermique pendant la durée considérée. Le bilan
d’énergie pour le piston s’écrit donc :
∆U piston + m(0 – V max
2 ) = 0
d’où : m c(T 3 piston – T 0 ) = m V max
2
T 3 piston = T 0 +
. A.N : T 3 piston – T 0 = 1,1 K .
• Pendant cette phase, le gaz est isolé :
m gaz V max
2 = ∆U gaz = n gaz
(T 3 gaz – T 2 ) .
T 3 gaz – T 2 =
A.N. :T 3 gaz –T 2 = 0,79 K .
3 • Le gaz subit la même détente adiabatique quasistatique que dans l’hypothèse sans frottement ; T 2 est donc
inchangée.
T 3 gaz est légèrement différente en raison de la vitesse plus
faible : T 3 gaz – T 2 = 0,14 K .
Faisons un bilan d’énergie pour le système {cylindre +piston + gaz} entre l’état initial et l’état final de repos : ∆U gaz
+ ∆U piston + ∆U cylindre = W atmosphère avec ∆U cylindre = 0
(par hypothèse, le cylindre ne s’échauffe pas).
Les frottements se manifestent par des échanges énergétiques entre le cylindre et le piston. Ils n’interviennent
donc pas dans un bilan relatif à un système qui inclut ces
deux éléments.
n gaz
(T 3 gaz – T 0 ) + m c(T 3 piston – T 0 ) =
– P 0 πa 2 (X 2 – X 1 )
R
γ – 1
(γ – 1)M V max
2
4R
R
γ – 1
1
4
V max
2
c
1
2
1
2
X 2 – X 1
V max
CORRIGÉS
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
246
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
K gfaz (t) =
m gaz
•
X 2 (t)
1
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