c. P 1 = 3,5 bars . τ m = 7,12 kJ.mol –1 . L’intérêt du compresseur à deux étages apparaît ici, puisque τ τ : le travail
total à fournir pour passer de P 0 à P f est inférieur d’environ 20 %.
B• 1 τ c m a été calculé à la question précédente :
τ c m = 7,12 kJ.mol –1 .
2 • τ T est donné par le résultat de la question préliminaire :
τ T m = ∆H m = C P, m (T D – T C )
τ T m = – 15,25 kJ.mol –1 .
3 • Le travail utile récupéré sur l’axe vaut τ u = – (τ T + τ c ),
puisque la turbine et le compresseur à deux étages sont solidaires :
τ u m = 8,13 kJ.mol –1 .
4 • L’air est échauffé de façon isobare ; or ∆H = Q P pour
une telle évolution. Ici on a donc :
Q m = ∆H m BC = C P, m (T C – T B )
Q m = 13,46 kJ.mol –1 .
5 • Le rendement d’un moteur est défini par le rapport entre
le travail utile récupéré et le coût énergétique correspondant :
η =
= 0,60 .
Détermination d’une capacité
thermique massique
1 • Puisque le débit gazeux est interrompu, on s’intéresse au
système {calorimètre + accessoires + eau}.
On sait que pour des phases condensées, la variation d’énergie interne et celle de l’enthalpie sont quasiment égales :
dU = dH = CdT.
Si on réalise un bilan énergétique sur la fonction H en considérant que l’expérience se fait à pression constante, on peut
écrire dH = δQ P . Or le seul échange thermique du système
avec le milieu extérieur correspond aux fuites thermiques :
δQ P = – k(T – T 0 ) dt, soit CdT = – k(T – T 0 ) dt
= –
dt . En intégrant, compte tenu de la condition
initiale T(t = 0) = T 2 :
T = T 0 + (T 2 – T 0 ) e
–
.
Remarques :O n vérifie que si t → + ∞, T → T 0 : le calorimètre est alors en équilibre thermique avec le milieu extérieur.
τ = est le temps caractéristique de cette mise en équilibre:
• si kest grand, les fuites sont importantes et τ est petit (mise
en équilibre rapide) ;
• si Ce st grand, la capacité du système à emmagasiner de
l’énergie thermique est grande, et la mise en équilibre lente.
kt
C
6
2 • Soit le système constitué, en régime permanent, à l’instant t , du calorimètre, de l’eau, de ses accessoires, de la
masse M de gaz présente dans le serpentin dans le calorimètre et de la masse dm qui entrera dans le calorimètre
durant l’intervalle dt ci-après.
Entre les instants t et t + dt ,l a masse dm entre à la température T 1 et une autre quantité de matière de même masse
dm (régime stationnaire) sort à la température T 2 du calorimètre.
On raisonne de nouveau sur l’enthalpie du système et on fait
un bilan énergétique :
dH système = dH {calorimètre + eau + accessoires} + dH M + dm
or dH {calorimètre + eau + accessoires} = 0 ,c ar dT = 0 en régime stationnaire, et dH M+dm = c P dm(T 2 – T 1 ) tout se passe
entre l’instant t et l’instant t + dt comme si une même
masse dm était passée de T 1 à T 2 : ceci n’est vrai qu’en régime stationnaire où H M = cte .
Ainsi, puisque :
δQ P = – k (T 2 – T 0 ) dt ,
on a:
c P dm(T 2 – T 1 ) = – k(T 2 – T 0 )dt ,
or dm = D m dt et finalement :
c P = –
.
3 • k =
ln
avec T = 2 K et t = 600 s .
k = 0,83 W . K –1 .
• c P = 476 J . kg –1 .K –1 .
Utilisation d’une pompe
1 • a. Représentons le k ième cycle du piston sur un diagramme représentant la pression dans le cylindre en fonction du volume du cylindre.
7
Instant t
Instant tdt
dm
dm
CORRIGÉS
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
244
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
total à fournir pour passer de P 0 à P f est inférieur d’environ 20 %.
B• 1 τ c m a été calculé à la question précédente :
τ c m = 7,12 kJ.mol –1 .
2 • τ T est donné par le résultat de la question préliminaire :
τ T m = ∆H m = C P, m (T D – T C )
τ T m = – 15,25 kJ.mol –1 .
3 • Le travail utile récupéré sur l’axe vaut τ u = – (τ T + τ c ),
puisque la turbine et le compresseur à deux étages sont solidaires :
τ u m = 8,13 kJ.mol –1 .
4 • L’air est échauffé de façon isobare ; or ∆H = Q P pour
une telle évolution. Ici on a donc :
Q m = ∆H m BC = C P, m (T C – T B )
Q m = 13,46 kJ.mol –1 .
5 • Le rendement d’un moteur est défini par le rapport entre
le travail utile récupéré et le coût énergétique correspondant :
η =
= 0,60 .
Détermination d’une capacité
thermique massique
1 • Puisque le débit gazeux est interrompu, on s’intéresse au
système {calorimètre + accessoires + eau}.
On sait que pour des phases condensées, la variation d’énergie interne et celle de l’enthalpie sont quasiment égales :
dU = dH = CdT.
Si on réalise un bilan énergétique sur la fonction H en considérant que l’expérience se fait à pression constante, on peut
écrire dH = δQ P . Or le seul échange thermique du système
avec le milieu extérieur correspond aux fuites thermiques :
δQ P = – k(T – T 0 ) dt, soit CdT = – k(T – T 0 ) dt
= –
dt . En intégrant, compte tenu de la condition
initiale T(t = 0) = T 2 :
T = T 0 + (T 2 – T 0 ) e
–
.
Remarques :O n vérifie que si t → + ∞, T → T 0 : le calorimètre est alors en équilibre thermique avec le milieu extérieur.
τ = est le temps caractéristique de cette mise en équilibre:
• si kest grand, les fuites sont importantes et τ est petit (mise
en équilibre rapide) ;
• si Ce st grand, la capacité du système à emmagasiner de
l’énergie thermique est grande, et la mise en équilibre lente.
kt
C
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2 • Soit le système constitué, en régime permanent, à l’instant t , du calorimètre, de l’eau, de ses accessoires, de la
masse M de gaz présente dans le serpentin dans le calorimètre et de la masse dm qui entrera dans le calorimètre
durant l’intervalle dt ci-après.
Entre les instants t et t + dt ,l a masse dm entre à la température T 1 et une autre quantité de matière de même masse
dm (régime stationnaire) sort à la température T 2 du calorimètre.
On raisonne de nouveau sur l’enthalpie du système et on fait
un bilan énergétique :
dH système = dH {calorimètre + eau + accessoires} + dH M + dm
or dH {calorimètre + eau + accessoires} = 0 ,c ar dT = 0 en régime stationnaire, et dH M+dm = c P dm(T 2 – T 1 ) tout se passe
entre l’instant t et l’instant t + dt comme si une même
masse dm était passée de T 1 à T 2 : ceci n’est vrai qu’en régime stationnaire où H M = cte .
Ainsi, puisque :
δQ P = – k (T 2 – T 0 ) dt ,
on a:
c P dm(T 2 – T 1 ) = – k(T 2 – T 0 )dt ,
or dm = D m dt et finalement :
c P = –
.
3 • k =
ln
avec T = 2 K et t = 600 s .
k = 0,83 W . K –1 .
• c P = 476 J . kg –1 .K –1 .
Utilisation d’une pompe
1 • a. Représentons le k ième cycle du piston sur un diagramme représentant la pression dans le cylindre en fonction du volume du cylindre.
7
Instant t
Instant tdt
dm
dm
CORRIGÉS
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.