• en aval il reçoit le travail :
W(x) = – P(x)V ABC D ;
• ( K BB DD
– K AA CC
) + (U BBDD – U AACC )
= P 1 V ABCD – P(x)V ABC D
puisque P, ext = cte ;
or
et
Ainsi, puisque toutes ces grandeurs sont indépendantes de
temps :
K A B C D
+ U ABCD + P(x) V ABCD
= K ABCD + U ABCD + P 1 V ABCD .
Or
et
Soit Mv(x) 2 + U m (x) + P(x)V m (x)
= Mv
2
1 + U m 1 + P 1 V m 1 .
Comme U m (x) + P(x) V m (x) = H m (x) , on a effectivement
bien :
H m (x) + Mv 2 (x) = cte .
2 • H m 2 + Mv
2
1 = H m 1 le gaz est parfait, donc :
H m 1 – H m 2 =
– 1 (T 1 – T 2 ) , soit :
v 2 =
(T 1 – T 2 )
.
v 2 = 301,5 ms –1 .
3 • Si l’on suppose que l’énergie cinétique du gaz en amont
de la turbine lui est intégralement transmise :
Mv
2
2 = W turbine .
Ainsi W turbine =
(T 1 – T 2 )
W turbine = 1 455 J.
g R
g – 1
1
2
Rγ
γ – 1
2
M
Rγ
γ – 1
Étude d’une machine
Question préliminaire
1 • Il s’agit d’une détente de Joule-Thomson.
Le lecteur pourra se reporter à son cours ou à la démonstration donnée à l’exercice 4 (il suffit d’écrire K (x) = K 1 pour
retrouver la démontration du cours).
2 • Avec les notations de l’exercice 4:
– U ACAC + U BDBD = τ + Q + P 1 V ABCD – P(x) V ABC D :
c’est lors de l’application du premier principe à la tranche de
gaz passant de ACAC à BDBD qu’interviennent le travail τ (autre que celui des forces de pression) et le transfert thermique Q échangés au niveau de l’élément
(compresseur, turbine, etc.).
La relation ∆H = 0 du 1) devient ∆H = τ + Q , où ∆H
représente la variation d’enthalpie d’une tranche de gaz entre
l’aval et l’amont de l’élément de machine étudié.
Si la branche contient n moles , cette relation devient :
n ∆H m = n τ m + nQ m
soit :
∆H m = τ m + Q m
A • 1 On est dans les conditions d’application de la loi de
Laplace. Ainsi :
P 0
1– γ T 0
γ = P f
1 –γ T f
γ et T f = xT 0 .
2 • a. Pour un gaz parfait (pour lequel C P,m est constant)
∆H m = C P, m ∆T , soit :
∆H m = C P, m (x
– 1)T 0 .
b. D’après la question préliminaire et en tenant compte du
caractère adiabatique de la transformation :
τ m = ∆H m .
c. τ m = 8,64 kJ.mol –1 .
3 • a. Seuls les travaux échangés au niveau des compresseurs
sont intéressants : le travail au niveau de l’échangeur n’est pas
fourni par la machine, il ne «coûte » donc rien.
τ m = τ 1 m + τ 2 m = C P, m
T 0
+ C P, m
T 0
en utilisant les résultats du 1) et du 2).
Soit τ = C P, m T 0
.
b. Il suffit d’annuler
. On obtient, après un calcul
sans difficulté, P 1 =.
d τ m
d P 1
5
CORRIGÉS
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
243
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
W(x) = – P(x)V ABC D ;
• ( K BB DD
– K AA CC
) + (U BBDD – U AACC )
= P 1 V ABCD – P(x)V ABC D
puisque P, ext = cte ;
or
et
Ainsi, puisque toutes ces grandeurs sont indépendantes de
temps :
K A B C D
+ U ABCD + P(x) V ABCD
= K ABCD + U ABCD + P 1 V ABCD .
Or
et
Soit Mv(x) 2 + U m (x) + P(x)V m (x)
= Mv
2
1 + U m 1 + P 1 V m 1 .
Comme U m (x) + P(x) V m (x) = H m (x) , on a effectivement
bien :
H m (x) + Mv 2 (x) = cte .
2 • H m 2 + Mv
2
1 = H m 1 le gaz est parfait, donc :
H m 1 – H m 2 =
– 1 (T 1 – T 2 ) , soit :
v 2 =
(T 1 – T 2 )
.
v 2 = 301,5 ms –1 .
3 • Si l’on suppose que l’énergie cinétique du gaz en amont
de la turbine lui est intégralement transmise :
Mv
2
2 = W turbine .
Ainsi W turbine =
(T 1 – T 2 )
W turbine = 1 455 J.
g R
g – 1
1
2
Rγ
γ – 1
2
M
Rγ
γ – 1
Étude d’une machine
Question préliminaire
1 • Il s’agit d’une détente de Joule-Thomson.
Le lecteur pourra se reporter à son cours ou à la démonstration donnée à l’exercice 4 (il suffit d’écrire K (x) = K 1 pour
retrouver la démontration du cours).
2 • Avec les notations de l’exercice 4:
– U ACAC + U BDBD = τ + Q + P 1 V ABCD – P(x) V ABC D :
c’est lors de l’application du premier principe à la tranche de
gaz passant de ACAC à BDBD qu’interviennent le travail τ (autre que celui des forces de pression) et le transfert thermique Q échangés au niveau de l’élément
(compresseur, turbine, etc.).
La relation ∆H = 0 du 1) devient ∆H = τ + Q , où ∆H
représente la variation d’enthalpie d’une tranche de gaz entre
l’aval et l’amont de l’élément de machine étudié.
Si la branche contient n moles , cette relation devient :
n ∆H m = n τ m + nQ m
soit :
∆H m = τ m + Q m
A • 1 On est dans les conditions d’application de la loi de
Laplace. Ainsi :
P 0
1– γ T 0
γ = P f
1 –γ T f
γ et T f = xT 0 .
2 • a. Pour un gaz parfait (pour lequel C P,m est constant)
∆H m = C P, m ∆T , soit :
∆H m = C P, m (x
– 1)T 0 .
b. D’après la question préliminaire et en tenant compte du
caractère adiabatique de la transformation :
τ m = ∆H m .
c. τ m = 8,64 kJ.mol –1 .
3 • a. Seuls les travaux échangés au niveau des compresseurs
sont intéressants : le travail au niveau de l’échangeur n’est pas
fourni par la machine, il ne «coûte » donc rien.
τ m = τ 1 m + τ 2 m = C P, m
T 0
+ C P, m
T 0
en utilisant les résultats du 1) et du 2).
Soit τ = C P, m T 0
.
b. Il suffit d’annuler
. On obtient, après un calcul
sans difficulté, P 1 =.
d τ m
d P 1
5
CORRIGÉS
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.