2 • a. On considère le système constitué des n 0 – n moles
de gaz présentes en fin d’expérience dans le récipient.
Comme les transformations sont des suites d’états d’équilibre thermodynamique interne (p 1 << P 0 , p 2 << P 0 ) , que
le gaz est parfait et que γ est constant, la loi de Laplace peut
s’appliquer pour ces évolutions adiabatiques, soit PV γ = cte .
Sachant que γ 1 , la pente en un point d’une adiabatique
est supérieure (en valeur absolue) à celle d’une isotherme, en
effet on a:
d(ln PV γ ) =
= 0 ,
d’où
d(ln PV) =
= 0 , d’où
.
Juste avant l’ouverture du robinet, le point représentatif du
système des n 0 – n moles d’air est en A de coordonnées
[V 1 , (P 0 + p 1 )] , si V 1 est le volume occupé par les n
moles qui vont sortir.
Pendant l’ouverture, le système subit une transformation
adiabatique quasistatique caractérisée par PV γ = C ste . Le
système atteint le point B , de coordonnées (P 0 , V 0 ).
Après la fermeture du robinet, la gaz contenu dans le récipient subit un échauffement isochore (il y a transfert thermique à travers les parois du récipient). Il atteint le point
C , de volume V 0 et situé sur l’isotherme T 0 qui passe
également par A .
b. On considère le système fermé constitué des (n 0 − n)
moles qui restent dans le récipient. On peut écrire :
•P our la transformation adiabatique AB :
T P 1 – = C ste ,
soit
ou encore :
1 –
1 – =
1 –
En outre, comme p 1 << P 0 et θ << T 0 ,l a relation cidessus conduit, après un D.L. à l’ordre 1 à:
(1 – )
= –
;
T 0
p 1
P 0
T 0
p 1
P 0
P 0 p 1
P 0 p 2
P 0
P
A
V
V 0
V 1
isotherme T 0
C
B
isotherme T 0
•p our l’échauffement isochore BC :
= C ste
d’où
=s oit : 1 +
=
1 –
– 1
et, puisque p 2 << P 0 et θ << T 0 :
;
•a insi, en éliminant
des deux relations obtenues,
on en déduit :
(1 – )
= –
,
Remarque : L’expérience de Clément-Desormes donne des résultats peu précis. Les déterminations de γ se font actuellement à
partir de la mesure de la vitesse du son dans le gaz considéré.
Étude d’une tuyère
1 • Àl ’instant t , la tranche contenant dn moles est en
x = x 1 . Elle est caractérisée par U 1 , T 1 , P 1 , H 1 et υ 1 .
• Àl’instant t (tt) elle est à l’abscisse x . Elle est caractérisée par U(x) , T(x) , P(x) , H(x) et v (x) .
Pour calculer U(x) – U 1 , on va considérer la tranche de gaz
ACAC à l’instant t . Àl ’instant t , cette tranche s’est
déplacée et occupe un volume BDBD .
Le sytème étudié étant fermé et l’écoulement permanent, on a
nécessairement B = B et D = D .
T(x) et P(x) sont indépendants du temps et la masse totale de
la tranche ACAC est invariante.
On applique le premier principe entre les instants t et t à
la tranche précédente :
• Q = 0 , puisque les parois sont adiabatiques ;
• en amont le gaz reçoit un travail W 1 = P 1 V ABCD ;
x
x
instant t’
A B
A’
B’
D
C
D’
C’
dn
x
x
instant t
A B
A’ B’
D
C
D’
C’
x 1
4
p 2
P 0
p 1
P 0
T 0
T 0
p 2
P 0
P 0 + p 2
T 0
P 0
T 0 –
P
T
CORRIGÉS
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
242
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
de gaz présentes en fin d’expérience dans le récipient.
Comme les transformations sont des suites d’états d’équilibre thermodynamique interne (p 1 << P 0 , p 2 << P 0 ) , que
le gaz est parfait et que γ est constant, la loi de Laplace peut
s’appliquer pour ces évolutions adiabatiques, soit PV γ = cte .
Sachant que γ 1 , la pente en un point d’une adiabatique
est supérieure (en valeur absolue) à celle d’une isotherme, en
effet on a:
d(ln PV γ ) =
= 0 ,
d’où
d(ln PV) =
= 0 , d’où
.
Juste avant l’ouverture du robinet, le point représentatif du
système des n 0 – n moles d’air est en A de coordonnées
[V 1 , (P 0 + p 1 )] , si V 1 est le volume occupé par les n
moles qui vont sortir.
Pendant l’ouverture, le système subit une transformation
adiabatique quasistatique caractérisée par PV γ = C ste . Le
système atteint le point B , de coordonnées (P 0 , V 0 ).
Après la fermeture du robinet, la gaz contenu dans le récipient subit un échauffement isochore (il y a transfert thermique à travers les parois du récipient). Il atteint le point
C , de volume V 0 et situé sur l’isotherme T 0 qui passe
également par A .
b. On considère le système fermé constitué des (n 0 − n)
moles qui restent dans le récipient. On peut écrire :
•P our la transformation adiabatique AB :
T P 1 – = C ste ,
soit
ou encore :
1 –
1 – =
1 –
En outre, comme p 1 << P 0 et θ << T 0 ,l a relation cidessus conduit, après un D.L. à l’ordre 1 à:
(1 – )
= –
;
T 0
p 1
P 0
T 0
p 1
P 0
P 0 p 1
P 0 p 2
P 0
P
A
V
V 0
V 1
isotherme T 0
C
B
isotherme T 0
•p our l’échauffement isochore BC :
= C ste
d’où
=s oit : 1 +
=
1 –
– 1
et, puisque p 2 << P 0 et θ << T 0 :
;
•a insi, en éliminant
des deux relations obtenues,
on en déduit :
(1 – )
= –
,
Remarque : L’expérience de Clément-Desormes donne des résultats peu précis. Les déterminations de γ se font actuellement à
partir de la mesure de la vitesse du son dans le gaz considéré.
Étude d’une tuyère
1 • Àl ’instant t , la tranche contenant dn moles est en
x = x 1 . Elle est caractérisée par U 1 , T 1 , P 1 , H 1 et υ 1 .
• Àl’instant t (tt) elle est à l’abscisse x . Elle est caractérisée par U(x) , T(x) , P(x) , H(x) et v (x) .
Pour calculer U(x) – U 1 , on va considérer la tranche de gaz
ACAC à l’instant t . Àl ’instant t , cette tranche s’est
déplacée et occupe un volume BDBD .
Le sytème étudié étant fermé et l’écoulement permanent, on a
nécessairement B = B et D = D .
T(x) et P(x) sont indépendants du temps et la masse totale de
la tranche ACAC est invariante.
On applique le premier principe entre les instants t et t à
la tranche précédente :
• Q = 0 , puisque les parois sont adiabatiques ;
• en amont le gaz reçoit un travail W 1 = P 1 V ABCD ;
x
x
instant t’
A B
A’
B’
D
C
D’
C’
dn
x
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instant t
A B
A’ B’
D
C
D’
C’
x 1
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p 2
P 0
p 1
P 0
T 0
T 0
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P 0 + p 2
T 0
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