©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
237
métrique global à volume constant, ou capacité thermique
du local, est noté C . La puissance thermique fournie à
l’extérieur (flux thermique sortant) s’exprime alors sous
la forme
= αC(T – T e ) (loi de Newton).
Détermination de a
Pour déterminer les déperditions thermiques, on arrête le
chauffage pendant une durée ∆t , durant laquelle la température du local passe de T i à T f , la température extérieure restant inchangée et égale à T e .
1 • Préciser l’unité de α ; établir son expression :
α =
.
2 • Calculer la valeur de α pour ∆t = 3 heures ,
T i = 294,0 K , T f = 286,0 K et T e = 281,0 K .
Mise en route du chauffage
3 • Quelle est la puissance de chauffe nécessaire au maintien du local à la température T i = T c = 294 K ? On donne
C = 10 7 J . K – 1 .
La température du local est maintenue dans l’intervalle de
régulation = [T R – θ ; T R + θ ] au moyen de relais
thermostatiques du type tout ou rien.
Ces derniers mettent en route le dispositif de chauffage dès
que T atteint la valeur T R – θ et l’arrêtent dès que T
atteint la valeur T R + θ par valeur croissante. Les grandeurs T R et θ sont respectivement la température de
régulation et l’amplitude de régulation.
Notant P c la puissance de chauffe (indépendante du
temps), on pose aussi T RM = T e +
.
4 • Quel est le sens physique de T RM ? Montrer qualitativement que, lorsque le système fonctionne normalement
(T R = T c = 294 K) , la température T du local est une
fonction périodique du temps. Montrer alors que l’intervalle des valeurs possibles de T R est :
T e + θ T R T RM – θ .
Calculer numériquement pour P c = 15 kW
et θ = 0,1 K .
5 • Exprimer la période, Θ , et donner sa valeur numérique.
6 • On note ∆t 1 la durée, au sein de la période Θ , pendant laquelle le système de chauffage est actif.
Établir l’expression du facteur de forme de la source
η =
. Calculer sa valeur numérique. En déduire la
puissance moyenne de chauffe (T R = T c = 294 K) .
δQ
δt
Stabilité de l’atmosphère
L’air est considéré comme un gaz parfait de rapport γ
constant et de masse molaire M . La verticale est repérée par un axe Oz ascendant : r g = – g r e z . À l’équilibre, la température de l’air suit une loi T eq (z) connue.
1 • Si P(z) représente la pression, et P(z) sa dérivée,
déterminer le rapport
.
2 • À la suite d’une perturbation, une bulle d’air, initialement à l’altitude z 0 s’élève jusqu’à l’altitude z 0 + ζ .
La bulle se met à l’équilibre mécanique avec l’air
ambiant à cette nouvelle altitude, et, nous supposons
que cette opération est suffisamment rapide pour être
adiabatique.
En supposant ζ suffisamment petit, déterminer la
masse volumique ρ bulle (z 0 + ζ) de la bulle, puis la
masse volumique ρ e (z 0 + ζ) de l’air ambiant à cette
même altitude.
En déduire une condition portant sur la fonction T(z)
pour que l’atmosphère soit à l’équilibre. Commenter la
valeur obtenue.
Chauffage d’une enceinte
D’après Concours communs Mines - Ponts
On se propose de maintenir un local à température constante T c (température de consigne). La température extérieure est uniforme et vaut T e T c .
Àl ’instant t, la température du local est notée T et l’on
admet que la déperdition d’énergie thermique
(« déperdition de chaleur ») est proportionnelle à la différence de température entre l’intérieur et l’extérieur.
Le volume de l’enceinte est constant, le coefficient calori10
P(z)
P(z)
9
Conseils
•Comment exprime-t-on la masse volumique d’un
gaz parfait en fonction de M, P et T ?
•La transformation subie par la bulle permet-elle
d’appliquer la loi de LAPLACE ?
•Comment expliciter cette loi avec les variables P
et ρ ?
•Si est suffisamment petit, on peut exprimer
P(z 0 + ) par une développement de Taylor à
l’ordre 1.
•Pour exprimer la dérivée de e , on peut utiliser
la dérivée logarithmique.
•Le système est stable si les forces qui s’exercent
sur la bulle tendent à la ramener vers sa position
initiale.
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
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métrique global à volume constant, ou capacité thermique
du local, est noté C . La puissance thermique fournie à
l’extérieur (flux thermique sortant) s’exprime alors sous
la forme
= αC(T – T e ) (loi de Newton).
Détermination de a
Pour déterminer les déperditions thermiques, on arrête le
chauffage pendant une durée ∆t , durant laquelle la température du local passe de T i à T f , la température extérieure restant inchangée et égale à T e .
1 • Préciser l’unité de α ; établir son expression :
α =
.
2 • Calculer la valeur de α pour ∆t = 3 heures ,
T i = 294,0 K , T f = 286,0 K et T e = 281,0 K .
Mise en route du chauffage
3 • Quelle est la puissance de chauffe nécessaire au maintien du local à la température T i = T c = 294 K ? On donne
C = 10 7 J . K – 1 .
La température du local est maintenue dans l’intervalle de
régulation = [T R – θ ; T R + θ ] au moyen de relais
thermostatiques du type tout ou rien.
Ces derniers mettent en route le dispositif de chauffage dès
que T atteint la valeur T R – θ et l’arrêtent dès que T
atteint la valeur T R + θ par valeur croissante. Les grandeurs T R et θ sont respectivement la température de
régulation et l’amplitude de régulation.
Notant P c la puissance de chauffe (indépendante du
temps), on pose aussi T RM = T e +
.
4 • Quel est le sens physique de T RM ? Montrer qualitativement que, lorsque le système fonctionne normalement
(T R = T c = 294 K) , la température T du local est une
fonction périodique du temps. Montrer alors que l’intervalle des valeurs possibles de T R est :
T e + θ T R T RM – θ .
Calculer numériquement pour P c = 15 kW
et θ = 0,1 K .
5 • Exprimer la période, Θ , et donner sa valeur numérique.
6 • On note ∆t 1 la durée, au sein de la période Θ , pendant laquelle le système de chauffage est actif.
Établir l’expression du facteur de forme de la source
η =
. Calculer sa valeur numérique. En déduire la
puissance moyenne de chauffe (T R = T c = 294 K) .
δQ
δt
Stabilité de l’atmosphère
L’air est considéré comme un gaz parfait de rapport γ
constant et de masse molaire M . La verticale est repérée par un axe Oz ascendant : r g = – g r e z . À l’équilibre, la température de l’air suit une loi T eq (z) connue.
1 • Si P(z) représente la pression, et P(z) sa dérivée,
déterminer le rapport
.
2 • À la suite d’une perturbation, une bulle d’air, initialement à l’altitude z 0 s’élève jusqu’à l’altitude z 0 + ζ .
La bulle se met à l’équilibre mécanique avec l’air
ambiant à cette nouvelle altitude, et, nous supposons
que cette opération est suffisamment rapide pour être
adiabatique.
En supposant ζ suffisamment petit, déterminer la
masse volumique ρ bulle (z 0 + ζ) de la bulle, puis la
masse volumique ρ e (z 0 + ζ) de l’air ambiant à cette
même altitude.
En déduire une condition portant sur la fonction T(z)
pour que l’atmosphère soit à l’équilibre. Commenter la
valeur obtenue.
Chauffage d’une enceinte
D’après Concours communs Mines - Ponts
On se propose de maintenir un local à température constante T c (température de consigne). La température extérieure est uniforme et vaut T e T c .
Àl ’instant t, la température du local est notée T et l’on
admet que la déperdition d’énergie thermique
(« déperdition de chaleur ») est proportionnelle à la différence de température entre l’intérieur et l’extérieur.
Le volume de l’enceinte est constant, le coefficient calori10
P(z)
P(z)
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Conseils
•Comment exprime-t-on la masse volumique d’un
gaz parfait en fonction de M, P et T ?
•La transformation subie par la bulle permet-elle
d’appliquer la loi de LAPLACE ?
•Comment expliciter cette loi avec les variables P
et ρ ?
•Si est suffisamment petit, on peut exprimer
P(z 0 + ) par une développement de Taylor à
l’ordre 1.
•Pour exprimer la dérivée de e , on peut utiliser
la dérivée logarithmique.
•Le système est stable si les forces qui s’exercent
sur la bulle tendent à la ramener vers sa position
initiale.