©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
2 • Quand la température T varie de dT , x varie de dx .
Calculer dx en fonction de dT .
3 • Exprimer (en fonction de la variable x ) l’énergie
interne du système {gaz + ressort}.
En déduire la variation infinitésimale de l’énergie interne
dU en fonction de la variation de température dT .
4 • Calculer le transfert thermique δQ nécessaire pour
faire varier la température de dT .
En déduire la capacité calorifique C K du système {gaz
+ressort}.
Examiner à nouveau les cas limites.
Transformations d’un gaz réel
Dans un certain domaine de température et de pression,
le dioxygène O 2 est bien représenté par l’équation de
Va n de Waals :
P +
(V m – b) = R T
Son énergie interne molaire est donnée par :
U m = U 0 m + C V, m T –
Avec a = 0,170 J.m 3 mol –2 ,
b = 5,10 . 10 –5 m 3 .mol –1
et C V, m = 21,1 J.K –1 .mol –1 .
1 • On réalise une détente de Joule-Gay-Lussac avec ce
gaz. L’état initial est caractérisé par :
Vo lume V 0 = 10 L; quantité de matière : n = 10 moles ;
température T 0 = 295 K .
L’état final est caractérisé par un volume
V 1 = 2 V 0 = 20 L.
Déterminer littéralement et calculer la température
finale T 1 si on néglige les échanges thermiques avec
les parois. À quelle condition cette dernière hypothèse
est-elle réaliste ? Quel serait le résultat avec le modèle
du gaz parfait ?
2 • On réalise une compression suffisamment lente
pour pouvoir la considérer comme isotherme. La température restant égale à T 0 , les n moles passent de V 0
à V 2 =
. Calculer le travail et la chaleur fournis au gaz.
V 0
2
a
V m
a
V 2
m
12
Capacité calorifique
d’un système complexe
Un gaz parfait (quantité de matière n) est enfermé dans un
cyclindre (de section S ) fermé par un piston mobile, retenu par un ressort de raideur k , de longueur à vide L 0 .
Initialement, le gaz est à la pression atmosphérique P 0 ,
température T 0 et la longueur de cylindre occupée par le
gaz vaut L 0 .
On note C V la capacité calorifique molaire à volume
constant du gaz (doc. 1).
Même si cette hypothèse est discutable, on négligera dans
cet exercice la capacité thermique du ressort.
Doc. 1
On suppose que le système {gaz + ressort} est en permanence en état d’équilibre thermodynamique interne ; on
repère le déplacement du piston par sa cote x .
1 • On fait évoluer lentement la température : comment
est représentée cette transformation en diagramme de
Clapeyron (P, x)?
Examiner les cas particuliers.
0
x
x
section S
gaz parfait
k
L 0
P 0
11
EXERCICES
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
238
Conseils
Détermination de a
•Définir le système étudié et choisir la fonction
d’état à partir de laquelle on établira le bilan énergétique.
Mise en route du chauffage
•Établir un nouveau bilan énergétique tenant compte
du chauffage. Que devient-il si T reste constante
égale à T i ?
•Pour comprendre le fonctionnement, on pourra tracer P c = f(T) . Àq uel dispositif électronique cette
courbe fait-elle penser ?
•Pour faire l’étude quantitative, exprimer le bilan
énergétique et l’intégrer suivant que le chauffage
fonctionne ou non entre T R – θ et T R + θ , ou
T R + θ et T R – θ .
•Les questions 5) et 6) sont des applications de la
question 4).
Conseils
1) Il suffit d’écrire l’équation d’équilibre du piston.
3) Dans l’expression de l’énergie interne U intervient
l’énergie potentielle des forces intérieures, donc celle
du ressort.
4) Il faut toujours commencer par calculer le travail
et se servir du premier principe pour obtenir les
échanges thermiques.
La photocopie non autorisée est un délit.
2 • Quand la température T varie de dT , x varie de dx .
Calculer dx en fonction de dT .
3 • Exprimer (en fonction de la variable x ) l’énergie
interne du système {gaz + ressort}.
En déduire la variation infinitésimale de l’énergie interne
dU en fonction de la variation de température dT .
4 • Calculer le transfert thermique δQ nécessaire pour
faire varier la température de dT .
En déduire la capacité calorifique C K du système {gaz
+ressort}.
Examiner à nouveau les cas limites.
Transformations d’un gaz réel
Dans un certain domaine de température et de pression,
le dioxygène O 2 est bien représenté par l’équation de
Va n de Waals :
P +
(V m – b) = R T
Son énergie interne molaire est donnée par :
U m = U 0 m + C V, m T –
Avec a = 0,170 J.m 3 mol –2 ,
b = 5,10 . 10 –5 m 3 .mol –1
et C V, m = 21,1 J.K –1 .mol –1 .
1 • On réalise une détente de Joule-Gay-Lussac avec ce
gaz. L’état initial est caractérisé par :
Vo lume V 0 = 10 L; quantité de matière : n = 10 moles ;
température T 0 = 295 K .
L’état final est caractérisé par un volume
V 1 = 2 V 0 = 20 L.
Déterminer littéralement et calculer la température
finale T 1 si on néglige les échanges thermiques avec
les parois. À quelle condition cette dernière hypothèse
est-elle réaliste ? Quel serait le résultat avec le modèle
du gaz parfait ?
2 • On réalise une compression suffisamment lente
pour pouvoir la considérer comme isotherme. La température restant égale à T 0 , les n moles passent de V 0
à V 2 =
. Calculer le travail et la chaleur fournis au gaz.
V 0
2
a
V m
a
V 2
m
12
Capacité calorifique
d’un système complexe
Un gaz parfait (quantité de matière n) est enfermé dans un
cyclindre (de section S ) fermé par un piston mobile, retenu par un ressort de raideur k , de longueur à vide L 0 .
Initialement, le gaz est à la pression atmosphérique P 0 ,
température T 0 et la longueur de cylindre occupée par le
gaz vaut L 0 .
On note C V la capacité calorifique molaire à volume
constant du gaz (doc. 1).
Même si cette hypothèse est discutable, on négligera dans
cet exercice la capacité thermique du ressort.
Doc. 1
On suppose que le système {gaz + ressort} est en permanence en état d’équilibre thermodynamique interne ; on
repère le déplacement du piston par sa cote x .
1 • On fait évoluer lentement la température : comment
est représentée cette transformation en diagramme de
Clapeyron (P, x)?
Examiner les cas particuliers.
0
x
x
section S
gaz parfait
k
L 0
P 0
11
EXERCICES
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
238
Conseils
Détermination de a
•Définir le système étudié et choisir la fonction
d’état à partir de laquelle on établira le bilan énergétique.
Mise en route du chauffage
•Établir un nouveau bilan énergétique tenant compte
du chauffage. Que devient-il si T reste constante
égale à T i ?
•Pour comprendre le fonctionnement, on pourra tracer P c = f(T) . Àq uel dispositif électronique cette
courbe fait-elle penser ?
•Pour faire l’étude quantitative, exprimer le bilan
énergétique et l’intégrer suivant que le chauffage
fonctionne ou non entre T R – θ et T R + θ , ou
T R + θ et T R – θ .
•Les questions 5) et 6) sont des applications de la
question 4).
Conseils
1) Il suffit d’écrire l’équation d’équilibre du piston.
3) Dans l’expression de l’énergie interne U intervient
l’énergie potentielle des forces intérieures, donc celle
du ressort.
4) Il faut toujours commencer par calculer le travail
et se servir du premier principe pour obtenir les
échanges thermiques.