©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
3 • On tient compte maintenant des frottements entre le
cylindre et le piston. La vitesse maximale n’est plus que
de 20 m.s –1 , les autres données étant inchangées. En
supposant, pour simplifier, que ces frottements
n’échauffent que le piston, calculer les températures
finales T 4 piston et T 4 gaz du piston et du gaz lorsque
le système est au repos.
4 • L’étude de la diffusion thermique (au programme
de seconde année) montre que, après une durée t , la
zone sensible aux variations de température a une
épaisseur de l’ordre de δ = 4Dt , D étant un coefficient
caractéristique du matériau. On prendra pour le matériau du cylindre (verre) D = 5,0 . 10 –7 m 2 .s –1 .
a. Déterminer l’épaisseur δ au bout de 4 ms et au bout
de 40 s . Exprimer la capacité thermique de la pellicule
d’épaisseur d sur la face interne du cylindre et, dans les
deux cas, comparer la capacité thermique correspondante
à celle du gaz. Conclure.
b. Les échanges thermiques entre le gaz et la paroi du
cylindre sont régis par la loi dite de NEWTON :
th = h S [T p (t) – T(t)]
th représentant la puissance thermique cédée par la
paroi au gaz, T(t) la température (supposé uniforme)
du gaz, T p (t) celle de la face interne de la paroi, et S
l’aire de cette face interne ; h est une constante que
l’on prendra égale à 10 W.m –2 .K –1 .
En prenant comme origine des temps l’instant du choc,
déterminer T(t) . Pour simplifier les calculs (de toutes
façons approchés) :
•on ne tiendra pas compte des échanges thermiques du
gaz avec le piston ;
•on supposera la capacité thermique de la couche
d’épaisseur δ constante et infiniment grande devant
celle du gaz.
Calculer numériquement la constante de temps de la loi
T(t) et la valeur de T 10 minutes après la détente.
EXERCICES
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
236
L’état initial est défini par : Pression du gaz : P 1 = 4P 0 ,
température de l’ensemble : T 0 ; X = X 1 = 20 cm .
On libère le piston, le gaz se détend jusqu’à ce que le
piston s’arrête brutalement sur une butée. Le volume
occupé par le gaz est alors déterminé par :
X = X 2 = 2 X 1 .
Nous admettons que, pendant la détente, on peut considérer que la pression et la température du gaz sont définis à chaque instant et uniformes si sa durée τ 0 , X et
la vitesse de propagation des ondes sonores
c son =
7
sont telles que : c son t 0 >> X .
1 • On suppose que le gaz est homogène et que la vitesse (au sens macroscopique) du gaz situé à l’abscisse x
est une fonction linéaire de x : v (x, t) =
.
X(t) .
Exprimer l’énergie cinétique (macroscopique) d K de
la tranche de gaz comprise entre les abscisses x et
x + dx .
En déduire l’énergie cinétique totale du gaz K gaz (t)
en fonction de la masse de gaz m gaz et de X(t) .
2 • Nous supposons que :
• si la pression et la température sont définis à chaque
instant et uniformes dans le cylindre ;
•il n’y a aucun échange thermique entre le gaz, le piston et le cylindre ;
•le mouvement du piston jusqu’au choc contre la butée
s’effectue sans frottement.
a. Déterminer la pression P 2 et la température T 2 du
gaz à l’instant où le piston atteint l’abscisse X 2 . Au
moyen d’un bilan d’énergie, exprimer la vitesse maximale V max du piston en fonction de ρ , e , M , X 1 ,
P 0 , T 0 R et γ .
En déduire une estimation grossière de la durée t 0 de
la détente.
b. Le piston a une épaisseur égale à 1 cm. Calculer V max
et l’ordre de grandeur de τ 0 . L’hypothèse «quasistatique » est-elle justifiée ?
c. Lors du choc sur la butée, le cylindre reste parfaitement rigide et le piston s’échauffe uniformément. Calculer
les températures T 3 piston et T 3 gaz du piston et du gaz
lorsque le système est au repos. (On considérera que l’hypothèse quasistatique est justifiée pour la détente).
x
X(t)
P 0 , T 0
X 1
S
OX 2
X
X ( t )
γ RT
M
PROBLÈME
Conseils
•Caractériser l’évolution du gaz pendant la détente. Quelles relations relient P , V et T ?
•Un bilan d’énergie n’a de sens que relatif à un
système fermé clairement délimité. Selon le cas,
on choisira le gaz seul ou l’ensemble {cylindre
+gaz + piston}. Quel système choisir si on veut
considérer le travail cédé par l’atmosphère au
cours de la détente ?
• Pendant la détente, le piston est rigide et ne reçoit
pas de transfert thermique.
•Pour une première estimation de la durée, on peut
considérer que la vitesse est constante.
•Le cylindre peut-il échanger du travail ?
•Les frottements modifient-ils l’énergie interne
finale du système {cylindre + gaz + piston} ?
La photocopie non autorisée est un délit.
3 • On tient compte maintenant des frottements entre le
cylindre et le piston. La vitesse maximale n’est plus que
de 20 m.s –1 , les autres données étant inchangées. En
supposant, pour simplifier, que ces frottements
n’échauffent que le piston, calculer les températures
finales T 4 piston et T 4 gaz du piston et du gaz lorsque
le système est au repos.
4 • L’étude de la diffusion thermique (au programme
de seconde année) montre que, après une durée t , la
zone sensible aux variations de température a une
épaisseur de l’ordre de δ = 4Dt , D étant un coefficient
caractéristique du matériau. On prendra pour le matériau du cylindre (verre) D = 5,0 . 10 –7 m 2 .s –1 .
a. Déterminer l’épaisseur δ au bout de 4 ms et au bout
de 40 s . Exprimer la capacité thermique de la pellicule
d’épaisseur d sur la face interne du cylindre et, dans les
deux cas, comparer la capacité thermique correspondante
à celle du gaz. Conclure.
b. Les échanges thermiques entre le gaz et la paroi du
cylindre sont régis par la loi dite de NEWTON :
th = h S [T p (t) – T(t)]
th représentant la puissance thermique cédée par la
paroi au gaz, T(t) la température (supposé uniforme)
du gaz, T p (t) celle de la face interne de la paroi, et S
l’aire de cette face interne ; h est une constante que
l’on prendra égale à 10 W.m –2 .K –1 .
En prenant comme origine des temps l’instant du choc,
déterminer T(t) . Pour simplifier les calculs (de toutes
façons approchés) :
•on ne tiendra pas compte des échanges thermiques du
gaz avec le piston ;
•on supposera la capacité thermique de la couche
d’épaisseur δ constante et infiniment grande devant
celle du gaz.
Calculer numériquement la constante de temps de la loi
T(t) et la valeur de T 10 minutes après la détente.
EXERCICES
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
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L’état initial est défini par : Pression du gaz : P 1 = 4P 0 ,
température de l’ensemble : T 0 ; X = X 1 = 20 cm .
On libère le piston, le gaz se détend jusqu’à ce que le
piston s’arrête brutalement sur une butée. Le volume
occupé par le gaz est alors déterminé par :
X = X 2 = 2 X 1 .
Nous admettons que, pendant la détente, on peut considérer que la pression et la température du gaz sont définis à chaque instant et uniformes si sa durée τ 0 , X et
la vitesse de propagation des ondes sonores
c son =
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sont telles que : c son t 0 >> X .
1 • On suppose que le gaz est homogène et que la vitesse (au sens macroscopique) du gaz situé à l’abscisse x
est une fonction linéaire de x : v (x, t) =
.
X(t) .
Exprimer l’énergie cinétique (macroscopique) d K de
la tranche de gaz comprise entre les abscisses x et
x + dx .
En déduire l’énergie cinétique totale du gaz K gaz (t)
en fonction de la masse de gaz m gaz et de X(t) .
2 • Nous supposons que :
• si la pression et la température sont définis à chaque
instant et uniformes dans le cylindre ;
•il n’y a aucun échange thermique entre le gaz, le piston et le cylindre ;
•le mouvement du piston jusqu’au choc contre la butée
s’effectue sans frottement.
a. Déterminer la pression P 2 et la température T 2 du
gaz à l’instant où le piston atteint l’abscisse X 2 . Au
moyen d’un bilan d’énergie, exprimer la vitesse maximale V max du piston en fonction de ρ , e , M , X 1 ,
P 0 , T 0 R et γ .
En déduire une estimation grossière de la durée t 0 de
la détente.
b. Le piston a une épaisseur égale à 1 cm. Calculer V max
et l’ordre de grandeur de τ 0 . L’hypothèse «quasistatique » est-elle justifiée ?
c. Lors du choc sur la butée, le cylindre reste parfaitement rigide et le piston s’échauffe uniformément. Calculer
les températures T 3 piston et T 3 gaz du piston et du gaz
lorsque le système est au repos. (On considérera que l’hypothèse quasistatique est justifiée pour la détente).
x
X(t)
P 0 , T 0
X 1
S
OX 2
X
X ( t )
γ RT
M
PROBLÈME
Conseils
•Caractériser l’évolution du gaz pendant la détente. Quelles relations relient P , V et T ?
•Un bilan d’énergie n’a de sens que relatif à un
système fermé clairement délimité. Selon le cas,
on choisira le gaz seul ou l’ensemble {cylindre
+gaz + piston}. Quel système choisir si on veut
considérer le travail cédé par l’atmosphère au
cours de la détente ?
• Pendant la détente, le piston est rigide et ne reçoit
pas de transfert thermique.
•Pour une première estimation de la durée, on peut
considérer que la vitesse est constante.
•Le cylindre peut-il échanger du travail ?
•Les frottements modifient-ils l’énergie interne
finale du système {cylindre + gaz + piston} ?