©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
235
2 • Calculer la valeur de la capacité thermique massique
à pression constante c P du gaz en fonction de k , D m ,
T 0 , T 1 et T 2 .
3 • Données: C = 4k J . K − 1 et D m = 0,47 g.s − 1 .
On a mesuré les températures T 0 = 293 K ,
T 1 = 373 Ke tT 2 = 310 K .
Déterminer la valeur numérique du coefficient k sachant
que dix minutes après avoir coupé le courant gazeux, la
température T du calorimètre a diminué de 2K.
En déduire la capacité c P du gaz (dioxyde de carbone).
Utilisation d’une pompe
Un réservoir de volume V 0 contient initialement de l’air
(assimilable à un gaz parfait) à la pression P 0 .O n peut
augmenter cette pression en y refoulant de l’air à l’aide
d’une pompe. La pompe est constituée d’un cylindre dans
lequel coulisse (sans frottement) un piston actionné par un
moteur.
Le volume maximal du cylindre est V (le piston est alors
en début de course, à gauche), le volume minimal du cylindre
est v (le piston est en fin de course, à droite).
Lorsque le piston se déplace vers la gauche, les soupapes
S 1 et S 2 sont d’abord fermées, puis S 1 s’ouvre dès
que la pression de l’air résiduel contenu dans le cylindre
devient égale à la pression atmosphérique P 0 ;l ’air extérieur est alors aspiré dans la pompe.
Lorsque le piston se déplace vers la droite, S 1 se ferme,
l’air contenu dans le cylindre est comprimé ; puis S 2
s’ouvre dès que la pression de l’air du cylindre devient égale
à celle de l’air contenu dans le réservoir, l’air du cylindre
est alors refoulé dans le réservoir.
S 1
S 2
P 0
P 0
V 0
aspiration
V
7
On suppose qu’au cours des diverses transformations l’air
décrit une suite continue d’états d’équilibre thermodynamique internes à température constante (transformation isotherme).
1 • a. Calculer la pression P k de l’air contenu dans le
réservoir après k allers et retours du piston.
b. Quelle est la valeur limite P de P k quand k devient
très grand ? Retrouver cette valeur sans passer par le calcul
des pressions intermédiaires.
2 • On suppose dorénavant v = 0 .
a. Exprimer la pression P k en fonction de P 0 , V , V 0
et k .
b. Calculer le travail W k que fournit le moteur pour effectuer k allers et retours du piston.
Détente brusque d’un gaz
De l’air, considéré comme un gaz parfait de rapport γ
constant (γ = 1,4) et de masse molaire M = 29 g , est
enfermé dans un cylindre muni d’un piston mobile circulaire, de rayon a = 2 cm et de masse m . On note
X(t) l’abscisse du piston à la date t , l’origine étant
prise au fond du cylindre.
Le milieu extérieur est caractérisé par sa pression
P 0 = 1 bar et sa température T 0 = 300 K , constantes.
Le cylindre et le piston sont fabriqués avec un matériau
de masse volumique r = 2,5 . 10 3 kg.m –3 et de capacité thermique volumique c = 1,0 . 10 3 J.kg –1 .K –1 .
8
S 1
S 2
P 0
P 0
V 0
compression
v
Conseils
• Quel système choisir pour étudier l’effet des fuites ?
Sur quelle fonction d’état du système doit-on travailler ? Quels échanges énergétiques y a-t-il entre
le système et son milieu extérieur ?
•Définir un nouveau système en régime stationnaire
et raisonner de manière analogue à la détente de
Joule-Thomson.
Conseils
• Il est vivement recommandé de représenter le
k ième cycle sur un diagramme (P cyl , V cyl ) où
P cyl représente la pression à l’intérieur du cylindre et V cyl le volume du cylindre. Le cycle doit
comporter 4 phases successives et les pressions
P k-1 et P k doivent y apparaître.
•Àchaque étape, le système comprimé ou détendu est différent.
•Quel est le travail total des forces dues à la pression atmosphérique au cours d’un cycle du piston ?
• Rappel de la somme des termes d’une série géométrique :
S = 1 + r + r 2 + … + r n = S =
1–
1
r
–
n
r
+1
.
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
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2 • Calculer la valeur de la capacité thermique massique
à pression constante c P du gaz en fonction de k , D m ,
T 0 , T 1 et T 2 .
3 • Données: C = 4k J . K − 1 et D m = 0,47 g.s − 1 .
On a mesuré les températures T 0 = 293 K ,
T 1 = 373 Ke tT 2 = 310 K .
Déterminer la valeur numérique du coefficient k sachant
que dix minutes après avoir coupé le courant gazeux, la
température T du calorimètre a diminué de 2K.
En déduire la capacité c P du gaz (dioxyde de carbone).
Utilisation d’une pompe
Un réservoir de volume V 0 contient initialement de l’air
(assimilable à un gaz parfait) à la pression P 0 .O n peut
augmenter cette pression en y refoulant de l’air à l’aide
d’une pompe. La pompe est constituée d’un cylindre dans
lequel coulisse (sans frottement) un piston actionné par un
moteur.
Le volume maximal du cylindre est V (le piston est alors
en début de course, à gauche), le volume minimal du cylindre
est v (le piston est en fin de course, à droite).
Lorsque le piston se déplace vers la gauche, les soupapes
S 1 et S 2 sont d’abord fermées, puis S 1 s’ouvre dès
que la pression de l’air résiduel contenu dans le cylindre
devient égale à la pression atmosphérique P 0 ;l ’air extérieur est alors aspiré dans la pompe.
Lorsque le piston se déplace vers la droite, S 1 se ferme,
l’air contenu dans le cylindre est comprimé ; puis S 2
s’ouvre dès que la pression de l’air du cylindre devient égale
à celle de l’air contenu dans le réservoir, l’air du cylindre
est alors refoulé dans le réservoir.
S 1
S 2
P 0
P 0
V 0
aspiration
V
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On suppose qu’au cours des diverses transformations l’air
décrit une suite continue d’états d’équilibre thermodynamique internes à température constante (transformation isotherme).
1 • a. Calculer la pression P k de l’air contenu dans le
réservoir après k allers et retours du piston.
b. Quelle est la valeur limite P de P k quand k devient
très grand ? Retrouver cette valeur sans passer par le calcul
des pressions intermédiaires.
2 • On suppose dorénavant v = 0 .
a. Exprimer la pression P k en fonction de P 0 , V , V 0
et k .
b. Calculer le travail W k que fournit le moteur pour effectuer k allers et retours du piston.
Détente brusque d’un gaz
De l’air, considéré comme un gaz parfait de rapport γ
constant (γ = 1,4) et de masse molaire M = 29 g , est
enfermé dans un cylindre muni d’un piston mobile circulaire, de rayon a = 2 cm et de masse m . On note
X(t) l’abscisse du piston à la date t , l’origine étant
prise au fond du cylindre.
Le milieu extérieur est caractérisé par sa pression
P 0 = 1 bar et sa température T 0 = 300 K , constantes.
Le cylindre et le piston sont fabriqués avec un matériau
de masse volumique r = 2,5 . 10 3 kg.m –3 et de capacité thermique volumique c = 1,0 . 10 3 J.kg –1 .K –1 .
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S 1
S 2
P 0
P 0
V 0
compression
v
Conseils
• Quel système choisir pour étudier l’effet des fuites ?
Sur quelle fonction d’état du système doit-on travailler ? Quels échanges énergétiques y a-t-il entre
le système et son milieu extérieur ?
•Définir un nouveau système en régime stationnaire
et raisonner de manière analogue à la détente de
Joule-Thomson.
Conseils
• Il est vivement recommandé de représenter le
k ième cycle sur un diagramme (P cyl , V cyl ) où
P cyl représente la pression à l’intérieur du cylindre et V cyl le volume du cylindre. Le cycle doit
comporter 4 phases successives et les pressions
P k-1 et P k doivent y apparaître.
•Àchaque étape, le système comprimé ou détendu est différent.
•Quel est le travail total des forces dues à la pression atmosphérique au cours d’un cycle du piston ?
• Rappel de la somme des termes d’une série géométrique :
S = 1 + r + r 2 + … + r n = S =
1–
1
r
–
n
r
+1
.