©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • Quelle est l’expression numérique du travail molaire
τ C , reçu par le fluide de la part du compresseur à deux
étages (C) ?
2 • Calculer le travail molaire τ Tm reçu par la turbine
(T) .
3 • Le compresseur à deux étages et la turbine étant solidaires du même axe de rotation de la machine, déterminer
le travail utile molaire τ Tm récupéré sur cet axe (arbre de
la machine).
4 • Calculer Q m , la quantité de chaleur molaire reçue par
l’air pendant la combustion. (On négligera les modifications du fluide pendant cette combustion.)
5 • En déduire le rendement η =
.
Détermination d’une capacité
thermique massique
On établit, à pression constante, un courant gazeux dans
un serpentin métallique de débit massique D m (D m
représente la masse de gaz qui traverse une section de serpentin par unité de temps).
Le serpentin est plongé dans un calorimètre rempli d’eau,
de capacité thermique totale C (cette capacité inclut l’eau,
le calorimètre et ses accessoires). Le gaz, initialement chauffé
dans un four, arrive dans le calorimètre à une température
T 1 .E n régime stationnaire, le gaz sort du calorimètre à la
température T 2 , pratiquement égale à celle du calorimètre.
1 • Lorsqu’on interrompt le courant gazeux, on constate
que la température T du calorimètre diminue, ce qui
indique l’existence de «fuites thermiques ».
En admettant que les pertes thermiques par unité de temps
sont proportionnelles à l’écart de température (T − T 0 )
entre la température T du calorimètre et celle T 0 (supposée constante) du milieu extérieur (on désignera par k la
constante de proportionnalité), déterminer la loi d’évolution de la température T du calorimètre en fonction du
temps t ,d e C , k , T 0 et T 2 .
6
τ u m
Q m
EXERCICES
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
234
2 • a. Exprimer ∆H m , la variation d’enthalpie molaire de
ce gaz, en fonction de T 0 , x et C P, m .
b. Cette compression est réalisée par un compresseur : quel
travail, τ , doit-il fournir ?
c. A.N. : Calculer numériquement τ ’.
Données : T 0 = 288 K; P 0 = 1 bar ; P f = 12 bars
C P, m = 29 J . K –1 .mol –1 ; γ = 1,4 .
3 • Cette compression est réalisée dans deux compresseurs : l’air traverse un premier compresseur qui le comprime de P 0 à P 1 , puis un échangeur où il se refroidit de
façon isobare, sous la pression P 1 , jusqu’à T 0 et traverse enfin un second compresseur qui le comprime de P 1
à P f .
a. Exprimer le travail molaire τ m que doit fournir l’ensemble des compresseurs, en fonction de C P, m , T 0 , P 1 ,
P 0 , P f et γ .
b. Pour quelle valeur P 1m de P 1 , exprimée en fonction
de P 0 et P f , ce travail est-il minimal ?
c. Calculer les valeurs de P 1m et du travail molaire minimal
pour les valeurs numériques données en 2) b).
B. Turbine à gaz
Soit le dispositif schématisé ci-dessous.
L’air prélevé dans l’atmosphère, en A (P A = 1 bar et
T A = 288 K) , est comprimé jusqu’à la pression P B
(P B = 12 bars) , dans un compresseur (C) à deux étages
selon le processus du A. 3) b). Entre les deux étages, l’air
est refroidi de façon isobare jusqu’à T A (échangeur).
Dans la chambre de combustion, l’air est échauffé de
façon isobare jusqu’à T C = 1 050 K . Dans la turbine (T),
l’air est détendu de façon adiabatique et lente jusqu’à
P D = P A .
Le tableau suivant donne la pression P et la température T
du fluide dans les différents états :
arbre de
la machine
(C)
(C)
(T)
échangeur
compresseur à deux étages
turbine
chambre de
combustion
B
AD
C
état
A
B
C
D
P (bar)
1
12
12
1
T(K)
288
586
1 050
524
Conseils
1) De quelle détente s’agit-il ?
2) Comment la démonstration est-elle modifiée ?
A. 1) Quelle loi les conditions expérimentales décrites permettent-elles d’appliquer ?
2) Peut-on utiliser la question préliminaire ?
3) a) Quel(s) travail(travaux) doit-on prendre en
compte ? Le travail des forces de pression de
l’échangeur est-il intéressant ?
B. Chaque élément de la machine peut être traité
séparément en utilisant la question préliminaire.
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • Quelle est l’expression numérique du travail molaire
τ C , reçu par le fluide de la part du compresseur à deux
étages (C) ?
2 • Calculer le travail molaire τ Tm reçu par la turbine
(T) .
3 • Le compresseur à deux étages et la turbine étant solidaires du même axe de rotation de la machine, déterminer
le travail utile molaire τ Tm récupéré sur cet axe (arbre de
la machine).
4 • Calculer Q m , la quantité de chaleur molaire reçue par
l’air pendant la combustion. (On négligera les modifications du fluide pendant cette combustion.)
5 • En déduire le rendement η =
.
Détermination d’une capacité
thermique massique
On établit, à pression constante, un courant gazeux dans
un serpentin métallique de débit massique D m (D m
représente la masse de gaz qui traverse une section de serpentin par unité de temps).
Le serpentin est plongé dans un calorimètre rempli d’eau,
de capacité thermique totale C (cette capacité inclut l’eau,
le calorimètre et ses accessoires). Le gaz, initialement chauffé
dans un four, arrive dans le calorimètre à une température
T 1 .E n régime stationnaire, le gaz sort du calorimètre à la
température T 2 , pratiquement égale à celle du calorimètre.
1 • Lorsqu’on interrompt le courant gazeux, on constate
que la température T du calorimètre diminue, ce qui
indique l’existence de «fuites thermiques ».
En admettant que les pertes thermiques par unité de temps
sont proportionnelles à l’écart de température (T − T 0 )
entre la température T du calorimètre et celle T 0 (supposée constante) du milieu extérieur (on désignera par k la
constante de proportionnalité), déterminer la loi d’évolution de la température T du calorimètre en fonction du
temps t ,d e C , k , T 0 et T 2 .
6
τ u m
Q m
EXERCICES
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
234
2 • a. Exprimer ∆H m , la variation d’enthalpie molaire de
ce gaz, en fonction de T 0 , x et C P, m .
b. Cette compression est réalisée par un compresseur : quel
travail, τ , doit-il fournir ?
c. A.N. : Calculer numériquement τ ’.
Données : T 0 = 288 K; P 0 = 1 bar ; P f = 12 bars
C P, m = 29 J . K –1 .mol –1 ; γ = 1,4 .
3 • Cette compression est réalisée dans deux compresseurs : l’air traverse un premier compresseur qui le comprime de P 0 à P 1 , puis un échangeur où il se refroidit de
façon isobare, sous la pression P 1 , jusqu’à T 0 et traverse enfin un second compresseur qui le comprime de P 1
à P f .
a. Exprimer le travail molaire τ m que doit fournir l’ensemble des compresseurs, en fonction de C P, m , T 0 , P 1 ,
P 0 , P f et γ .
b. Pour quelle valeur P 1m de P 1 , exprimée en fonction
de P 0 et P f , ce travail est-il minimal ?
c. Calculer les valeurs de P 1m et du travail molaire minimal
pour les valeurs numériques données en 2) b).
B. Turbine à gaz
Soit le dispositif schématisé ci-dessous.
L’air prélevé dans l’atmosphère, en A (P A = 1 bar et
T A = 288 K) , est comprimé jusqu’à la pression P B
(P B = 12 bars) , dans un compresseur (C) à deux étages
selon le processus du A. 3) b). Entre les deux étages, l’air
est refroidi de façon isobare jusqu’à T A (échangeur).
Dans la chambre de combustion, l’air est échauffé de
façon isobare jusqu’à T C = 1 050 K . Dans la turbine (T),
l’air est détendu de façon adiabatique et lente jusqu’à
P D = P A .
Le tableau suivant donne la pression P et la température T
du fluide dans les différents états :
arbre de
la machine
(C)
(C)
(T)
échangeur
compresseur à deux étages
turbine
chambre de
combustion
B
AD
C
état
A
B
C
D
P (bar)
1
12
12
1
T(K)
288
586
1 050
524
Conseils
1) De quelle détente s’agit-il ?
2) Comment la démonstration est-elle modifiée ?
A. 1) Quelle loi les conditions expérimentales décrites permettent-elles d’appliquer ?
2) Peut-on utiliser la question préliminaire ?
3) a) Quel(s) travail(travaux) doit-on prendre en
compte ? Le travail des forces de pression de
l’échangeur est-il intéressant ?
B. Chaque élément de la machine peut être traité
séparément en utilisant la question préliminaire.