©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
233
1 • Pour chaque opération, analyser le processus expérimental et proposer un modèle pour chaque transformation
subie par le gaz qui reste à l’intérieur de la bouteille.
2 • L’expérience permet de mesurer le rapport
γ =
des capacités calorifiques molaire d’un gaz.
L’air est supposé parfait et de rapport γ constant.
a. Tracer dans un diagramme de Clapeyron (P, V) la suite
de transformations que subit le gaz resté dans la bouteille à
la fin de l’expérience. On notera :
p 1 la surpression correspondant à h 1 ;
p 2 la surpression correspondant à h 2 ;
θ l’abaissement de température correspondant à l’opération 3.
On ne s’intéressera qu’aux opérations 2 et 3.
b. Calculer γ en fonction de h 1 et h 2 .
Effectuer l’application numérique avec h 1 = 18,2 cm et
h 2 = 5,0 cm .
Étude d’une tuyère
On étudie l’écoulement d’un gaz dans une tuyère horizontale isolée thermiquement du milieu extérieur.
En régime permanent, dans une section droite de la tuyère
les vitesses d’écoulement sont égales et normales à la section. La pression et la température y sont uniformes et
indépendantes du temps :
–àl’entrée de la tuyère, x = x 1 : P 1 = 3 bars ; T 1 = 300 K;
–àla sortie de la tuyère, x = x 2 : P 2 = 1 bar ; T 2 = 250 K.
x
x 2
x
x 1
v(x)
P(x)
T(x)
4
1 • Montrer que lorsqu’une mole de gaz passe de l’entrée
à la sortie de la tuyère, on peut, pour toute abcisse x ,
écrire H m (x) +
Mv 2 (x) = cte .
H m (x) est l’enthalpie molaire du gaz à l’abscisse x et M
est la masse molaire du gaz.
2 • Si l’on suppose v (x 1 ) négligeable, calculer v (x 2 ) .
Données :M= 32 g . mol –1 ; γ = 1,4 .
On supposera le gaz parfait.
3 • Le gaz sortant de la tuyère est utilisé pour actionner
une turbine. Àl’entrée de la turbine, il a une pression P 2 ,
une température T 2 et une vitesse v 2 . Àla sortie, la pression et la température sont inchangées, et la vitesse est
nulle. Calculer le travail récupéré par la turbine pour le
passage d’une mole de gaz.
Étude d’une machine
Question préliminaire
Dans un tube cylindrique horizontal, indéformable, aux
parois adiabatiques, un gaz se détend à travers une paroi
poreuse ; la pression et la température passant de P 1 , T 1
en amont de la paroi à T 2 , P 2 en aval de la paroi.
On suppose que l’écoulement est suffisamment lent pour
que la variation d’énergie cinétique d’une quantité donnée
de fluide entre la partie amont et la partie aval soit négligeable.
1 • Montrer que la détente est isenthalpique.
2 • On remplace, dans le tube, la paroi poreuse par une
machine (turbine, compresseur, etc.). Au cours de son passage par la machine, une mole de fluide échange, avec le
milieu extérieur, un travail autre que celui des forces de
pression, noté τ m , et une quantité de chaleur Q m .
Comment est transformée la relation précédente ? On
notera H m l’enthalpie molaire du gaz.
A. Compression d’un fluide parfait
De l’air (assimilé à un gaz parfait) est prélevé dans l’atmosphère à la température T 0 , sous la pression P 0 . Il est
comprimé de façon adiabatique et lente jusqu’à la pression
P f .
1 • Exprimer la température finale du gaz, T f , en fonction de T 0 et de x =
.
5
Conseils
• Quelle est la température dans le récipient après
«quelques heures »?
•Quelle est la pression dans le récipient juste après
l’ouverture du robinet ?
•Le récipient permet-il de définir un système
fermé ?
• Le gaz qui s’échappe subit une transformation
brusque, mais le gaz qui reste subit une détente
«douce ». Comment peut-on le traduire quantitativement ?
•Ne pas oublier que p 1 << P 0 et p 2 << P 0 . On
peut simplifier le calcul en faisant des développements à l’ordre 1 en —
p
P 0
.
Conseils
• Revoir la démonstration de la détente de JOULETHOMSON. Il suffit de la reprendre en tenant
compte de l’énergie cinétique.
•Que vaut l’enthalpie d’un gaz parfait ?
•Quelle relation y a-t-il entre la variation d’énergie cinétique du gaz et le travail récupéré ?
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
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1 • Pour chaque opération, analyser le processus expérimental et proposer un modèle pour chaque transformation
subie par le gaz qui reste à l’intérieur de la bouteille.
2 • L’expérience permet de mesurer le rapport
γ =
des capacités calorifiques molaire d’un gaz.
L’air est supposé parfait et de rapport γ constant.
a. Tracer dans un diagramme de Clapeyron (P, V) la suite
de transformations que subit le gaz resté dans la bouteille à
la fin de l’expérience. On notera :
p 1 la surpression correspondant à h 1 ;
p 2 la surpression correspondant à h 2 ;
θ l’abaissement de température correspondant à l’opération 3.
On ne s’intéressera qu’aux opérations 2 et 3.
b. Calculer γ en fonction de h 1 et h 2 .
Effectuer l’application numérique avec h 1 = 18,2 cm et
h 2 = 5,0 cm .
Étude d’une tuyère
On étudie l’écoulement d’un gaz dans une tuyère horizontale isolée thermiquement du milieu extérieur.
En régime permanent, dans une section droite de la tuyère
les vitesses d’écoulement sont égales et normales à la section. La pression et la température y sont uniformes et
indépendantes du temps :
–àl’entrée de la tuyère, x = x 1 : P 1 = 3 bars ; T 1 = 300 K;
–àla sortie de la tuyère, x = x 2 : P 2 = 1 bar ; T 2 = 250 K.
x
x 2
x
x 1
v(x)
P(x)
T(x)
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1 • Montrer que lorsqu’une mole de gaz passe de l’entrée
à la sortie de la tuyère, on peut, pour toute abcisse x ,
écrire H m (x) +
Mv 2 (x) = cte .
H m (x) est l’enthalpie molaire du gaz à l’abscisse x et M
est la masse molaire du gaz.
2 • Si l’on suppose v (x 1 ) négligeable, calculer v (x 2 ) .
Données :M= 32 g . mol –1 ; γ = 1,4 .
On supposera le gaz parfait.
3 • Le gaz sortant de la tuyère est utilisé pour actionner
une turbine. Àl’entrée de la turbine, il a une pression P 2 ,
une température T 2 et une vitesse v 2 . Àla sortie, la pression et la température sont inchangées, et la vitesse est
nulle. Calculer le travail récupéré par la turbine pour le
passage d’une mole de gaz.
Étude d’une machine
Question préliminaire
Dans un tube cylindrique horizontal, indéformable, aux
parois adiabatiques, un gaz se détend à travers une paroi
poreuse ; la pression et la température passant de P 1 , T 1
en amont de la paroi à T 2 , P 2 en aval de la paroi.
On suppose que l’écoulement est suffisamment lent pour
que la variation d’énergie cinétique d’une quantité donnée
de fluide entre la partie amont et la partie aval soit négligeable.
1 • Montrer que la détente est isenthalpique.
2 • On remplace, dans le tube, la paroi poreuse par une
machine (turbine, compresseur, etc.). Au cours de son passage par la machine, une mole de fluide échange, avec le
milieu extérieur, un travail autre que celui des forces de
pression, noté τ m , et une quantité de chaleur Q m .
Comment est transformée la relation précédente ? On
notera H m l’enthalpie molaire du gaz.
A. Compression d’un fluide parfait
De l’air (assimilé à un gaz parfait) est prélevé dans l’atmosphère à la température T 0 , sous la pression P 0 . Il est
comprimé de façon adiabatique et lente jusqu’à la pression
P f .
1 • Exprimer la température finale du gaz, T f , en fonction de T 0 et de x =
.
5
Conseils
• Quelle est la température dans le récipient après
«quelques heures »?
•Quelle est la pression dans le récipient juste après
l’ouverture du robinet ?
•Le récipient permet-il de définir un système
fermé ?
• Le gaz qui s’échappe subit une transformation
brusque, mais le gaz qui reste subit une détente
«douce ». Comment peut-on le traduire quantitativement ?
•Ne pas oublier que p 1 << P 0 et p 2 << P 0 . On
peut simplifier le calcul en faisant des développements à l’ordre 1 en —
p
P 0
.
Conseils
• Revoir la démonstration de la détente de JOULETHOMSON. Il suffit de la reprendre en tenant
compte de l’énergie cinétique.
•Que vaut l’enthalpie d’un gaz parfait ?
•Quelle relation y a-t-il entre la variation d’énergie cinétique du gaz et le travail récupéré ?