©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
2 • Quel est le mouvement ultérieur de l’enfant ?Q uelle
est sa vitesse quand il retombe sur le sol ?E ffectuer
l’application numérique avec m =3 0k g, a =2me t
g=9,8 m . s –2 .Commenter.
Équilibred’unpoint
Un point M de masse m est lié àuncercle fixe dans le plan
vertical, de centre O et de rayon R .Laliaison est supposée
sans frottements. Le point M est attiré par l’extrémité A du
diamètre horizontal AB par une force toujours dirigée vers
A et dont le module est proportionnel àladistance AM .La
position du point M est repérée par l’angle q =(AB, OM).
1 •Déterminer les positions q = q e d’équilibredupoint M
sur le cercle.
2 • Quand le point n’est pas en équilibre, déterminer
l’équation différentielle vérifiéepar q en utilisant la relation fondamentale de la dynamique, puis le théorème du
moment cinétique en O .
3 • On suppose que q reste proche de q e et on pose
q = q e + u avec u << q e .D éterminer alors l’équation différentielle vérifiée par u .L es conditions initiales sont
u = u 0 et ·
u =0.Déterminer entièrement u(t). Que peut-on
dire quant àl as tabilité de la (des) position(s) d’équilibre
déterminée(s) au 1) ?Une position d’équilibre est stable si,
quand on écarte légèrement le point de cette position, il
tend àyrevenir,elle est instable dans le cas contraire.
5
z
x
M
O
A
B
θ
Mouvementd’une masse
accrochée àunr essort, impact
au pointd’a ttache (oral TPE)
Un objet ponctuel de masse m,f ixé àu nr essort de constante de raideur k et longueur àv ide L 0 ,a ttaché en O,s e
déplace le long d’un plan incliné d’angle a.Onsuppose la
masse du ressort nulle, ainsi que sa longueur quand il est
comprimé.Laposition de la masse est x e àl’équilibre. On
négligeles frottements.
Àl’instant initial, on lance la masse, située en x e ,avec une
vitesse v 0 vers O.Déterminer le mouvement x(t). Àquelle condition sur v 0 la masse frappe-t-elle le point O ?À
quel instant le choc a-t-il lieu et quelle est alors la vitesse
de la masse ?
Enroulementd’unfil
sur un cylindre
D’après Mines de Douai.
Un cylindre de révolution, d’axe vertical, de rayon R,
repose sur un plan horizontal et fixe par rapport àunréférentiel (Ox, Oy, Oz).
On attache une extrémité d’un fil parfaitement souple,
infiniment mince et de masse négligeable àl ab ase du
cylindre, et on l’enroule plusieurs fois dans le sens trigonométrique autour de cette base. L’autre extrémité du fil
O
y
m
x
a
7
6
EXERCICES
Dynamique du pointmatériel
2
21
Conseils
1) L’enfant perd le contact avec l’igloo quand la réaction de l’igloo s’annule. Il faut donc exprimer cette
réaction en fonction de q seulement. Pour cela, on
sera amené àm ultiplierl ap rojection de la relation
fondamentale de la dynamique sur e
➞
q par
·
q pour pouvoir l’intégrer.
2) Attention aux conditions initialesdumouvement.
Conseils
Commencer par trouver l’expression de x e .
Déterminer x(t)e nu tilisant les conditions initiales
et en introduisant
.
ω 0 =
k
m
Conseils
1) Exprimer toutes les forces qui s’exercent sur le
point M dans la base des coordonnées polaires
(e
➞
r , e
➞
q ), sans oublier de déterminer la distance AM
en fonction de R et de q .
2) Projeter la relation fondamentale de la dynamique
sur la direction qui élimine la force inconnue (c'està-dire la réaction du support).
3) Effectuer un développement limité au premier
ordre en u.Mettre en évidence la différence de comportement du mouvement du point autour de chacune
des deux positions d’équilibredéterminées plus haut.
La photocopie non autorisée est un délit.
2 • Quel est le mouvement ultérieur de l’enfant ?Q uelle
est sa vitesse quand il retombe sur le sol ?E ffectuer
l’application numérique avec m =3 0k g, a =2me t
g=9,8 m . s –2 .Commenter.
Équilibred’unpoint
Un point M de masse m est lié àuncercle fixe dans le plan
vertical, de centre O et de rayon R .Laliaison est supposée
sans frottements. Le point M est attiré par l’extrémité A du
diamètre horizontal AB par une force toujours dirigée vers
A et dont le module est proportionnel àladistance AM .La
position du point M est repérée par l’angle q =(AB, OM).
1 •Déterminer les positions q = q e d’équilibredupoint M
sur le cercle.
2 • Quand le point n’est pas en équilibre, déterminer
l’équation différentielle vérifiéepar q en utilisant la relation fondamentale de la dynamique, puis le théorème du
moment cinétique en O .
3 • On suppose que q reste proche de q e et on pose
q = q e + u avec u << q e .D éterminer alors l’équation différentielle vérifiée par u .L es conditions initiales sont
u = u 0 et ·
u =0.Déterminer entièrement u(t). Que peut-on
dire quant àl as tabilité de la (des) position(s) d’équilibre
déterminée(s) au 1) ?Une position d’équilibre est stable si,
quand on écarte légèrement le point de cette position, il
tend àyrevenir,elle est instable dans le cas contraire.
5
z
x
M
O
A
B
θ
Mouvementd’une masse
accrochée àunr essort, impact
au pointd’a ttache (oral TPE)
Un objet ponctuel de masse m,f ixé àu nr essort de constante de raideur k et longueur àv ide L 0 ,a ttaché en O,s e
déplace le long d’un plan incliné d’angle a.Onsuppose la
masse du ressort nulle, ainsi que sa longueur quand il est
comprimé.Laposition de la masse est x e àl’équilibre. On
négligeles frottements.
Àl’instant initial, on lance la masse, située en x e ,avec une
vitesse v 0 vers O.Déterminer le mouvement x(t). Àquelle condition sur v 0 la masse frappe-t-elle le point O ?À
quel instant le choc a-t-il lieu et quelle est alors la vitesse
de la masse ?
Enroulementd’unfil
sur un cylindre
D’après Mines de Douai.
Un cylindre de révolution, d’axe vertical, de rayon R,
repose sur un plan horizontal et fixe par rapport àunréférentiel (Ox, Oy, Oz).
On attache une extrémité d’un fil parfaitement souple,
infiniment mince et de masse négligeable àl ab ase du
cylindre, et on l’enroule plusieurs fois dans le sens trigonométrique autour de cette base. L’autre extrémité du fil
O
y
m
x
a
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EXERCICES
Dynamique du pointmatériel
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Conseils
1) L’enfant perd le contact avec l’igloo quand la réaction de l’igloo s’annule. Il faut donc exprimer cette
réaction en fonction de q seulement. Pour cela, on
sera amené àm ultiplierl ap rojection de la relation
fondamentale de la dynamique sur e
➞
q par
·
q pour pouvoir l’intégrer.
2) Attention aux conditions initialesdumouvement.
Conseils
Commencer par trouver l’expression de x e .
Déterminer x(t)e nu tilisant les conditions initiales
et en introduisant
.
ω 0 =
k
m
Conseils
1) Exprimer toutes les forces qui s’exercent sur le
point M dans la base des coordonnées polaires
(e
➞
r , e
➞
q ), sans oublier de déterminer la distance AM
en fonction de R et de q .
2) Projeter la relation fondamentale de la dynamique
sur la direction qui élimine la force inconnue (c'està-dire la réaction du support).
3) Effectuer un développement limité au premier
ordre en u.Mettre en évidence la différence de comportement du mouvement du point autour de chacune
des deux positions d’équilibredéterminées plus haut.