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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Atmosphèreisotherme
1 • P ne dépend que de l’altitude z (O z orienté vers le haut),
et :
=–rg;
les autres projections (sur (Ox)e t( Oy)) du gradient étant
nulles, P ne dépend que de l’altitude z.
Pour un gaz parfait :
r(z)=
et
=– ,
soit, en intégrant entre l’altitude 0etl’altitude z :
P(z)=P(0) exp – z .
2 • Àl ’altitude z ,l ad ensité particulaire n*(z)e st le nombre de particules présentes dans un volume mésoscopique dt
rapporté àcevolume :d N ( z )=n*(z)dt .
En exprimant l’équation d’état du gaz :
P(z)dt == d N ( z ) k B T ,
on obtient n*(z)=
exp – z en tenant compte de
la relation
=.
Pour n*(H)=
,onobtient H ==
.
A. N. :H ≈ 8,4 km.
Pour n*(h)=
,onobtient h =l n10.
A. N. :h≈19 km.
3 • La probabilité d de trouver une particule dans la
tranche comprise entre les altitudes z et z +dz est égale
au rapport entre le nombre de particules présentes àc ette
altitude et le nombre total de particules.
On considère, àl’altitude z un volume mésoscopique dt ,de
base S et de hauteur dz ,soit dt = Sdz .
Ce volume comprend dN(z)p articules et la colonne de
base S en comprend N ,soit d(z) =.
Or dN(z)=n*(z)Sdz (voir la question 2)),
et N = S
0
n*(z)dz =S
,après intégration.
D’où :d ( z )=
exp – z dz.
mg
k B T
mg
k B T
P 0
mg
dN(z)
N
k B T
mg
n(0)
10
RT
Mg
k B T
mg
n(0)
e
m
k B
M
R
Mg
RT
P 0
k B T
dN(z)RT
N A
Mg
RT
Mg
RT
dP (z)
P (z)
MP (z)
RT
dP (z)
dz
2
Corrigés
Mesure de la pression
atmosphérique
Appelons m = r S(n–n),lamasse de l’index.
Premièreposition
Seconde position
L’indexétant en équilibre, cela donne :
•pour la position 1: PS = P 0 S + mg ,avec P la pression de
l’air dans le tube ;
•pour la position 2: PS=P 0 S–mg ,avec P la pression
de l’air dans le tube.
La quantité de matière est toujours la même donc :
=
, avec V = Sn et V = Sn.
On attend toujours l’équilibre thermique, donc :
T = T et PV=PV.
On obtient ainsi :
[P 0 + rg (n – n)]n =[P 0 –rg(n–n)]n .
En posant P 0 = rgH 0 ,cela donne :
[H 0 +(n–n)]n =[H 0 –(n–n)]n
et donc :
H 0 =
.
A. N. :H 0 =767 mm de mercure soit : P 0 =1,04 . 10 5 Pa .
(n – n)(n+ n)
n – n
PV
T
PV
T
P’S
P 0 S
mg
n’’
0
n’
P 0 S
PS
n
mg
0
g
1