ExpériencedeJeanP errin
1 • Chaque sphère subit, en plus de son poids, une poussée
d’Archimède égale à p
F A =–m 0r g où m 0 représente la masse
du volume d’eau déplacé par la sphère. Ainsi la sphère est soumise àl af orce résultante R = mg + p
F A = π a 3 ( m – r) r g ;
cette force dérive de l’énergie potentielle:
P = πa 3 (m–r)gz .
On am ontré dans l’exercice précédent que la probabilité de
trouver la particule àl’altitude z est :
d(z)=
exp – z dz.
Les billes de latex, comme les molécules d’air,sont en équilibre àlatempérature T ;par analogie on écrira :
d(z)= πa 3 (m–r)e xp –
z dz.
On obtient bien une loi de la forme :
dN(z)=A (T)exp –
z dz ,
et :=
.
L’application numérique donne H =53µm.Cette valeur justifie ap osteriori le choix de 90 µmp our l’écart de mesures
(cf.ci-dessous).
En fait, Jean Perrin fit une série de mesures de 30 µme n
30 µmà l’aide de photographies de la suspension en équilibre.
2 • Au-delà de quelques H ,l ap robabilité de trouver une
sphère devient négligeable.
N(z)e st égale àlasomme des dN ,pour les altitudes comprises entre z et le sommet de la colonne. Comme la probabilité de trouver une sphère devient négligeable au-delà de
quelques H ,onpeut tout aussi bien étendre la sommationde
z àl ’infini.
N(z)=A (T)
z
exp
–
du = HA (T)exp
N (0) = HA (T)d’où : N(z)=N (0) exp
L’utilisation des deux mesures permet d’écrire :
z =–Hln
et N A =
l n.
A. N. : A =6.10 23 mol –1 .
N(0)
N(90)
N(90)
N(0)
4πa 3 (m – r)g
3k B T
1
H
4
3
4πa 3 (m – r)g
3k B T
4πa 3 (m – r)g
3k B T
g
k B T
4
3
mg
k B T
mg
k B T
4
3
4
3
– z
H
– z
H
u
H
3
RT
ag z
4
3
3
πµ ρ
(–)
Pression àl’intérieur
d’une planète fluide
1 • On reprendl er aisonnement classique du calculd u
champ électrique y
E créé par une distribution às ymétrie
sphérique, avec les analogies :
r électrique → r massique et
→ –
(Constante de gravitation)
Posons OM = r z e r .Lasymétrie de la répartition des masses impose : r g =–g(r) z e r .
On applique le théorème de GAUSS àu ne sphère Σ de
centre Oe tderayon r prise àl’intérieur de la planète :
Flux àtravers Σ du champdegravitation =
–4π×(masse àl’intérieur de Σ)
–4πr 2 g(r)=–4π πr 3 r soit : g(r)= πrr
Comme g 0 = π R r ,ondéduit : r
g =–
z e r .
2•Comme, par symétrie, P ne dépend que de r ,onpeut
écrire la relation fondamentale de la statique des fluides
sous la forme :
Z grad P =
z e r =–
z e r d’où l’équation différentielle := –
La solution, compte-tenu de la condition aux limites
P(R)=0est :
P(r)=
(R 2 –r 2 )
Et la pression au centre : P (0) = r g 0 R
Pour la Terre, on obtient,a vec g 0 =1 0m.s –2 :
P(0) =4.10 11 Pa ,soit 4 . 10 6 bars .( Un calcul plus précis, avec 2c hiffres significatifs ou plus, n’a bien entendu
aucune signification pour un modèle aussi grossier.)
Commentaires :
•LaT erre est partiellement fluide :lenoyau est essentiellement constitué de fer fondu. Même la croûte et le manteau, solides, sont légèrement déformablese ti ln ’est pas
déraisonnable de les assimileràd es fluides. Le modèle a
donc une certaine pertinence.
•Lav aleur de P(0) justifie que l’on puisse considérer
comme nulle la pression àlasurface.
•Selon le modèle admis actuellement, le noyau intérieur
(la «graine ») est solide en raison de la très forte pression.
r g 0 r
R
r g 0 r
R
4
r g 0 r
R
dP
dr
dP
dr
g 0 r
R
4
3
4
3
4
3
1
4πε 0
CORRIGÉS
Statique desfluides
2
223
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • Chaque sphère subit, en plus de son poids, une poussée
d’Archimède égale à p
F A =–m 0r g où m 0 représente la masse
du volume d’eau déplacé par la sphère. Ainsi la sphère est soumise àl af orce résultante R = mg + p
F A = π a 3 ( m – r) r g ;
cette force dérive de l’énergie potentielle:
P = πa 3 (m–r)gz .
On am ontré dans l’exercice précédent que la probabilité de
trouver la particule àl’altitude z est :
d(z)=
exp – z dz.
Les billes de latex, comme les molécules d’air,sont en équilibre àlatempérature T ;par analogie on écrira :
d(z)= πa 3 (m–r)e xp –
z dz.
On obtient bien une loi de la forme :
dN(z)=A (T)exp –
z dz ,
et :=
.
L’application numérique donne H =53µm.Cette valeur justifie ap osteriori le choix de 90 µmp our l’écart de mesures
(cf.ci-dessous).
En fait, Jean Perrin fit une série de mesures de 30 µme n
30 µmà l’aide de photographies de la suspension en équilibre.
2 • Au-delà de quelques H ,l ap robabilité de trouver une
sphère devient négligeable.
N(z)e st égale àlasomme des dN ,pour les altitudes comprises entre z et le sommet de la colonne. Comme la probabilité de trouver une sphère devient négligeable au-delà de
quelques H ,onpeut tout aussi bien étendre la sommationde
z àl ’infini.
N(z)=A (T)
z
exp
–
du = HA (T)exp
N (0) = HA (T)d’où : N(z)=N (0) exp
L’utilisation des deux mesures permet d’écrire :
z =–Hln
et N A =
l n.
A. N. : A =6.10 23 mol –1 .
N(0)
N(90)
N(90)
N(0)
4πa 3 (m – r)g
3k B T
1
H
4
3
4πa 3 (m – r)g
3k B T
4πa 3 (m – r)g
3k B T
g
k B T
4
3
mg
k B T
mg
k B T
4
3
4
3
– z
H
– z
H
u
H
3
RT
ag z
4
3
3
πµ ρ
(–)
Pression àl’intérieur
d’une planète fluide
1 • On reprendl er aisonnement classique du calculd u
champ électrique y
E créé par une distribution às ymétrie
sphérique, avec les analogies :
r électrique → r massique et
→ –
(Constante de gravitation)
Posons OM = r z e r .Lasymétrie de la répartition des masses impose : r g =–g(r) z e r .
On applique le théorème de GAUSS àu ne sphère Σ de
centre Oe tderayon r prise àl’intérieur de la planète :
Flux àtravers Σ du champdegravitation =
–4π×(masse àl’intérieur de Σ)
–4πr 2 g(r)=–4π πr 3 r soit : g(r)= πrr
Comme g 0 = π R r ,ondéduit : r
g =–
z e r .
2•Comme, par symétrie, P ne dépend que de r ,onpeut
écrire la relation fondamentale de la statique des fluides
sous la forme :
Z grad P =
z e r =–
z e r d’où l’équation différentielle := –
La solution, compte-tenu de la condition aux limites
P(R)=0est :
P(r)=
(R 2 –r 2 )
Et la pression au centre : P (0) = r g 0 R
Pour la Terre, on obtient,a vec g 0 =1 0m.s –2 :
P(0) =4.10 11 Pa ,soit 4 . 10 6 bars .( Un calcul plus précis, avec 2c hiffres significatifs ou plus, n’a bien entendu
aucune signification pour un modèle aussi grossier.)
Commentaires :
•LaT erre est partiellement fluide :lenoyau est essentiellement constitué de fer fondu. Même la croûte et le manteau, solides, sont légèrement déformablese ti ln ’est pas
déraisonnable de les assimileràd es fluides. Le modèle a
donc une certaine pertinence.
•Lav aleur de P(0) justifie que l’on puisse considérer
comme nulle la pression àlasurface.
•Selon le modèle admis actuellement, le noyau intérieur
(la «graine ») est solide en raison de la très forte pression.
r g 0 r
R
r g 0 r
R
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r g 0 r
R
dP
dr
dP
dr
g 0 r
R
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CORRIGÉS
Statique desfluides
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.