©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Statique desfluides
2
219
ExpériencedeJeanP errin
Le physicien français Jean Perrin
ar éalisé au début du siècle une
expérience permettant de déterminer le nombre d’Avogadro.
Cette détermination lui av alu,
ainsi que ses autres travaux, le
prix Nobel en 1926.
Il prépara, dans un récipient plein
d’eau, une suspension de petites
sphères de latex de rayon
a =0,212 µm.Ilobserva ensuite au microscope optique la
répartition statistique de ces sphères en fonction de «l’altitude » z .
L’expérience est réalisée àl at empérature T =2 93 K
constante. La masse volumique de l’eau est
r =1,003 g . cm –3 et celle du latex m =1,194 g . cm –3 .
On donne R =8,314 J . mol –1 .K –1 ; g =9,81 m . s –2 .
1 • Par analogie avec une atmosphère gazeuse isotherme
(cf.exercice 2), montrer que le nombre de sphères contenues dans un volume dt de surface S et de hauteur dz
est dN = A(T)exp – dz ,où H est une hauteur caractéristique du problème que l’on exprimera en fonction de
a , r , m , T , g et k B .
Calculer H numériquement (k B =1,38 . 10 –23 J.K –1 ).
2•On compte les sphères contenues dans une colonne
cylindrique de section S et de hauteur très grande
devant H en commençant par le sommet de la
colonne.
Soit N(z)l enombre de sphères comptées entre le sommet et l’altitude z .D éterminer N(z)e nf onction de
N(0) et des autres données.
Jean Perrin mesura N(0) =100 et N(90 µm) =17.Endéduire une estimation de la valeur numériquede A .
Pression àl’intérieur
d’une planète fluide
On adopte un modèle simplifié pour représenter une
planète :o nl ’assimile àu ne sphère isolée de rayon R
z
H
4
3
0
z
Conseils
•Faire le biland es forces auxquelles est soumise
chaque bille de latex àl ’altitude z .Q uelle est
l’énergie potentielle correspondante ?Endéduire le
facteur de Boltzmann correspondant, puis dN(z).
•Enq uoi l’hypothèse «hauteur >> H »e st-elle
importante ?E nf onction de cette hypothèse, par
quelle intégralepeut-on exprimer N(z)?
Conseils
Il faut comparer le volume de liquide déplacé par
le glaçon au volume d’eau liquide obtenue par la
fonte du glaçon.
Conseils
• Question 1: Vo ir,d ans le cours d’électromagnétisme, les analogies entre le champ de gravitation
et le champ électrostatique. Pour le calcul de r g ,
on utilise le théorème de GAUSS.
•Question 2:Attention : r est uniforme mais
pas r
g !
•Si Y OM = r z e r ,onrappelle que le gradient d’une
fonction f(r)q ui ne dépend que de r s’écrit :
Z grad f = f(r) z e r .
•Las olution d’une équation différentielle
d’ordre 1d épend d’une constante fixée par une
condition imposée. En quels points la pression
est-elle connue ap riori ?
constituée d’un fluide incompressible de masse volumique r uniforme.
1 • Rappeler l’expression du champ de gravitation
r g (M)à l’intérieur de la planète, àu ne distance r du
centre. On exprimerac er ésultat en fonction de la
pesanteur àlasurface g 0 ,de R et de r .
2 • En supposant la pression nulle àl as urface, déterminer la pression àu ne distance r du centre, puis la
pression au centre. Faire l’application numérique pour
la Terre. (r =5,8 . 10 3 kg.m –3 ; R =6,4 . 10 6 m).
Commenter le résultat et critiquer le modèle.
Un glaçon dans un verre
àr as bord…
On place dans trois verres un glaçon et on les remplit àr as
bord, l’un d’eau, l’autre de jus de fruit et le troisièmed ’un
apéritif alcoolisé. Que se passe-t-il lorsque le glaçon afondu ?
Ma sses volumiques:
glace : r g =0,9 . 10 3 kg/m 3 ,eau liquide : r e =10 3 kg/m 3 ,
jus de fruit : r j =1,05 . 10 3 kg/m 3 ,
apéritif : r a =0,95 . 10 3 kg/m 3 .
Oscillations
d’un bouchon de liège
Un bouchon de liège, homogène, de forme cylindrique,
flotte horizontalement àl as urface de l’eau. On donne sa
longueur, h =5cm,etson rayon, r =1cm.
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La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Statique desfluides
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ExpériencedeJeanP errin
Le physicien français Jean Perrin
ar éalisé au début du siècle une
expérience permettant de déterminer le nombre d’Avogadro.
Cette détermination lui av alu,
ainsi que ses autres travaux, le
prix Nobel en 1926.
Il prépara, dans un récipient plein
d’eau, une suspension de petites
sphères de latex de rayon
a =0,212 µm.Ilobserva ensuite au microscope optique la
répartition statistique de ces sphères en fonction de «l’altitude » z .
L’expérience est réalisée àl at empérature T =2 93 K
constante. La masse volumique de l’eau est
r =1,003 g . cm –3 et celle du latex m =1,194 g . cm –3 .
On donne R =8,314 J . mol –1 .K –1 ; g =9,81 m . s –2 .
1 • Par analogie avec une atmosphère gazeuse isotherme
(cf.exercice 2), montrer que le nombre de sphères contenues dans un volume dt de surface S et de hauteur dz
est dN = A(T)exp – dz ,où H est une hauteur caractéristique du problème que l’on exprimera en fonction de
a , r , m , T , g et k B .
Calculer H numériquement (k B =1,38 . 10 –23 J.K –1 ).
2•On compte les sphères contenues dans une colonne
cylindrique de section S et de hauteur très grande
devant H en commençant par le sommet de la
colonne.
Soit N(z)l enombre de sphères comptées entre le sommet et l’altitude z .D éterminer N(z)e nf onction de
N(0) et des autres données.
Jean Perrin mesura N(0) =100 et N(90 µm) =17.Endéduire une estimation de la valeur numériquede A .
Pression àl’intérieur
d’une planète fluide
On adopte un modèle simplifié pour représenter une
planète :o nl ’assimile àu ne sphère isolée de rayon R
z
H
4
3
0
z
Conseils
•Faire le biland es forces auxquelles est soumise
chaque bille de latex àl ’altitude z .Q uelle est
l’énergie potentielle correspondante ?Endéduire le
facteur de Boltzmann correspondant, puis dN(z).
•Enq uoi l’hypothèse «hauteur >> H »e st-elle
importante ?E nf onction de cette hypothèse, par
quelle intégralepeut-on exprimer N(z)?
Conseils
Il faut comparer le volume de liquide déplacé par
le glaçon au volume d’eau liquide obtenue par la
fonte du glaçon.
Conseils
• Question 1: Vo ir,d ans le cours d’électromagnétisme, les analogies entre le champ de gravitation
et le champ électrostatique. Pour le calcul de r g ,
on utilise le théorème de GAUSS.
•Question 2:Attention : r est uniforme mais
pas r
g !
•Si Y OM = r z e r ,onrappelle que le gradient d’une
fonction f(r)q ui ne dépend que de r s’écrit :
Z grad f = f(r) z e r .
•Las olution d’une équation différentielle
d’ordre 1d épend d’une constante fixée par une
condition imposée. En quels points la pression
est-elle connue ap riori ?
constituée d’un fluide incompressible de masse volumique r uniforme.
1 • Rappeler l’expression du champ de gravitation
r g (M)à l’intérieur de la planète, àu ne distance r du
centre. On exprimerac er ésultat en fonction de la
pesanteur àlasurface g 0 ,de R et de r .
2 • En supposant la pression nulle àl as urface, déterminer la pression àu ne distance r du centre, puis la
pression au centre. Faire l’application numérique pour
la Terre. (r =5,8 . 10 3 kg.m –3 ; R =6,4 . 10 6 m).
Commenter le résultat et critiquer le modèle.
Un glaçon dans un verre
àr as bord…
On place dans trois verres un glaçon et on les remplit àr as
bord, l’un d’eau, l’autre de jus de fruit et le troisièmed ’un
apéritif alcoolisé. Que se passe-t-il lorsque le glaçon afondu ?
Ma sses volumiques:
glace : r g =0,9 . 10 3 kg/m 3 ,eau liquide : r e =10 3 kg/m 3 ,
jus de fruit : r j =1,05 . 10 3 kg/m 3 ,
apéritif : r a =0,95 . 10 3 kg/m 3 .
Oscillations
d’un bouchon de liège
Un bouchon de liège, homogène, de forme cylindrique,
flotte horizontalement àl as urface de l’eau. On donne sa
longueur, h =5cm,etson rayon, r =1cm.
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