dN =–
,
d’où le résultat :=
( N – N ).
3• On ademême –= ( N – N ).
Donc
(N + N)=0
N+N =NA (conservation du nombre de particules).
D’où :–
=(2N–N A )
+= N A
.
À t =0, N=N A ,donc :
N(t)=
1+exp
–
et N(t)=
1–exp
–
avec τ C =.
Les courbes sont données ci-dessous : N et N tendent
bien vers
àl’infini (équilibrestatistique).
4 • Le temps caractéristique du phénomène est
τ C =: lorsque t est de l’ordre de grandeur de
quelques τ C ,l’équilibre statistique est établi.
L’application numérique donne ici τ C 21 s.
On peut faire les remarquessuivantes :
• τ C est d’autant plus grand que S est petit :siletrou est
petit, l’équilibre statistiques’établit lentement ;
• τ C est d’autantplus grand que u est faible :l’équilibre
s’établira d’autant plus vite que l’agitation thermique
(donc u )e st importante.O ns es ouvient que u est proportionnel à 1T et inversement proportionnel à 1m .Ceci
est bien en accord avec une analyse qualitative du phénomène ;
• τ C est d’autant plus grand que V est grand :plus la densité moléculaire est faible, plus le libre parcours moyen est
important et donc grand devant les dimensions du trou.
3V
Su
t(s)
N
N
(× 10 23 )
0
1
2
3
4
5
6
25
50
75
100
N A
2
3V
Su
N A
2
t
τ C
N A
2
t
τ C
dN
dt
SuN
3V
Su
6V
dN
dt
Su
6V
d
dt
dN
dt
Su
6V
dN
dt
Su
6V
N Su dt
6V
NSudt
6V
CORRIGÉS
Équation d’étatd’unfluide
1
213
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
3 • Avec cette nouvelle condition, on peut poser v 0 ≈ 4 u ,
soit mv
2
0 ≈48 k B T .O nobtient alors T ≈ 3 . 10 8 K.
C’est encore supérieur àlavaleur constatée.
Un modèle plus exactd oit prendre en compte l’effet
Tunnel, qui ne peut être expliqué que par la physique
quantique. En physique quantique, la conservation de
l’énergie peut ne pas être respectée,àlacondition que cela
se produise pendantu ne durée suffisamment brève.
Certains noyaux peuvent alors franchir la barrière de
répulsion coulombienne àd es températures où cela serait
impossible selon la physiqueclassique.
Tamismoléculaire
1 • Si on veut que la taille du trou ne modifie pas la distribution des vitesses, il faut que l’agitation thermique continue de régir les phénomènes (hypothèse du chaos
moléculaire) :les chocs entre particules ne doivent pas être
perturbés. Pour cela, les dimensions du trou doivent être faibles devant la distance moyenne parcourue par une particule entre deux chocs (que l’on appelle «libre parcours
moyen »). Ainsi, si le trou est suffisamment petit, il n’y apas
de mouvement d’ensemble des particulesvers le trou.
2 • Il faut faire la différence entre les particules qui passent de (E)à(E )e tcelles quipassent de ( E)à( E ).
Comme la température est identique dans les deux enceintes, les vitesses quadratiques moyennes le sont aussi.
Notons Ox un axe orthogonalàl as urface de séparation
et orienté de E vers E et utilisons le modèle simplifié
classique :
Nous supposons que toutes les particules ont une vitesse
égale àl av itesse quadratique u et que les vitesses sont
orientées selon les trois directions parallèles à Ox, Oy et
Oz ,d ans les deux sens, avec une égalep robabilité pour
chaque orientation.
Les molécules arrivant sur le trou d’aire S pendant une
durée infinitésimale dt sont, avec ce modèle, contenues
dans un cylindre droit de base S et de hauteur u dt ,d onc
de volume Su dt .r eprésentant le nombre de molécules par unité de volume, ce cylindre contient
molécules dont
ont la vitesse correctement
orientée pour passer àtravers le trou.
Pendant la durée T ,i le st donc passé
molécules de E vers E (correspondant àune diminution de
N )e td onc
de E vers E ,c orrespondant à
une augmentation de N .Lavariation infinitésimale de N
est donc :
N Su dt
6V
NSudt
6V
NSudt
6V
NSudt
V
N
V
8
,
d’où le résultat :=
( N – N ).
3• On ademême –= ( N – N ).
Donc
(N + N)=0
N+N =NA (conservation du nombre de particules).
D’où :–
=(2N–N A )
+= N A
.
À t =0, N=N A ,donc :
N(t)=
1+exp
–
et N(t)=
1–exp
–
avec τ C =.
Les courbes sont données ci-dessous : N et N tendent
bien vers
àl’infini (équilibrestatistique).
4 • Le temps caractéristique du phénomène est
τ C =: lorsque t est de l’ordre de grandeur de
quelques τ C ,l’équilibre statistique est établi.
L’application numérique donne ici τ C 21 s.
On peut faire les remarquessuivantes :
• τ C est d’autant plus grand que S est petit :siletrou est
petit, l’équilibre statistiques’établit lentement ;
• τ C est d’autantplus grand que u est faible :l’équilibre
s’établira d’autant plus vite que l’agitation thermique
(donc u )e st importante.O ns es ouvient que u est proportionnel à 1T et inversement proportionnel à 1m .Ceci
est bien en accord avec une analyse qualitative du phénomène ;
• τ C est d’autant plus grand que V est grand :plus la densité moléculaire est faible, plus le libre parcours moyen est
important et donc grand devant les dimensions du trou.
3V
Su
t(s)
N
N
(× 10 23 )
0
1
2
3
4
5
6
25
50
75
100
N A
2
3V
Su
N A
2
t
τ C
N A
2
t
τ C
dN
dt
SuN
3V
Su
6V
dN
dt
Su
6V
d
dt
dN
dt
Su
6V
dN
dt
Su
6V
N Su dt
6V
NSudt
6V
CORRIGÉS
Équation d’étatd’unfluide
1
213
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
3 • Avec cette nouvelle condition, on peut poser v 0 ≈ 4 u ,
soit mv
2
0 ≈48 k B T .O nobtient alors T ≈ 3 . 10 8 K.
C’est encore supérieur àlavaleur constatée.
Un modèle plus exactd oit prendre en compte l’effet
Tunnel, qui ne peut être expliqué que par la physique
quantique. En physique quantique, la conservation de
l’énergie peut ne pas être respectée,àlacondition que cela
se produise pendantu ne durée suffisamment brève.
Certains noyaux peuvent alors franchir la barrière de
répulsion coulombienne àd es températures où cela serait
impossible selon la physiqueclassique.
Tamismoléculaire
1 • Si on veut que la taille du trou ne modifie pas la distribution des vitesses, il faut que l’agitation thermique continue de régir les phénomènes (hypothèse du chaos
moléculaire) :les chocs entre particules ne doivent pas être
perturbés. Pour cela, les dimensions du trou doivent être faibles devant la distance moyenne parcourue par une particule entre deux chocs (que l’on appelle «libre parcours
moyen »). Ainsi, si le trou est suffisamment petit, il n’y apas
de mouvement d’ensemble des particulesvers le trou.
2 • Il faut faire la différence entre les particules qui passent de (E)à(E )e tcelles quipassent de ( E)à( E ).
Comme la température est identique dans les deux enceintes, les vitesses quadratiques moyennes le sont aussi.
Notons Ox un axe orthogonalàl as urface de séparation
et orienté de E vers E et utilisons le modèle simplifié
classique :
Nous supposons que toutes les particules ont une vitesse
égale àl av itesse quadratique u et que les vitesses sont
orientées selon les trois directions parallèles à Ox, Oy et
Oz ,d ans les deux sens, avec une égalep robabilité pour
chaque orientation.
Les molécules arrivant sur le trou d’aire S pendant une
durée infinitésimale dt sont, avec ce modèle, contenues
dans un cylindre droit de base S et de hauteur u dt ,d onc
de volume Su dt .r eprésentant le nombre de molécules par unité de volume, ce cylindre contient
molécules dont
ont la vitesse correctement
orientée pour passer àtravers le trou.
Pendant la durée T ,i le st donc passé
molécules de E vers E (correspondant àune diminution de
N )e td onc
de E vers E ,c orrespondant à
une augmentation de N .Lavariation infinitésimale de N
est donc :
N Su dt
6V
NSudt
6V
NSudt
6V
NSudt
V
N
V
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