©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
gée :laréservedesécurité est caractérisée par la pression
de seuil p s .
Il faut ramener la pressiondel’air sortant de la bouteille à
la pression ambiante, pression de l’air respiré par le plongeur.L ed étendeur assure cette fonction. Ce dispositif,
inséré entre la bouteille d’air et la bouche du plongeur
fournit de l’air àl ad emande de ce dernier.L ed étendeur
possède ainsi plusieurs fonctions :
•ilréduit la pression de l’air issu de la bouteille àlapression p(z)d el’endroitoùsetrouveleplongeur ;
•i lf ournit la quantité d’air nécessaireàl ar espiration du
plongeur àlapression p(z);
•ilsebloque lorsque la pression P b de l’air dans la bouteille devient de l’ordre de la pression seuil p s .L ep longeur est alors averti qu’il doit passer sur la réserve et
remonter.
1 • Au début de la plongée, la bouteille, de volume V b ,
est remplie d’air àlatempérature T b = T a sous une pression p ;e np rofondeur ou en surface, la bouteille et son
contenu prennent la température T e ,c onstante, de l’eau
environnante. Calculerl aq uantité (expriméee nm oles)
d’air contenue dans la bouteille, d’une part au début de la
plongée (n i ),d ’autre part au moment où le détendeurs e
bloque (n s ).
Application numérique :
p =2,0 . 10 7 Pa , p s =4,0 . 10 6 Pa , V b =1,0 . 10 –2 m 3 ,
T a =293 Ke tT e =288 K.
2•La respiration du plongeur est périodique, de fréquence f .S ous la pression locale p(z)e tàl at empérature T e ,l ev olume moyen de l’air inspiré au cours de
chaque cycle (avant d’êtreensuite rejeté àl’extérieur) est
Ω 0 ;calculerletemps Δt s (z)a ubout duquel le détendeur
se bloque ;p our simplifierl es calculs on admettraq ue le
temps de descente du plongeur àl ap rofondeur z est
négligeable, que ce dernier se maintient tout le temps
Δt s (z)àla profondeur z et que le volume Ω 0 ne dépend
pas de la profondeur.
Application numérique :
p(z)=3,0 bar , Ω 0 =2,0 . 10 –3 m 3 , f =0,2 s –1
et T =288 K.
3•Comparer Δt s (z)a ut emps Δt s (0) mis par le détendeur pour se bloquer si le plongeur reste en surface
(p =1,0 bar) et T = T a .
Le piston fait un aller-retour ;d éterminerl ev olume d’air
V dans le cylindrel orsque la soupape S s’ouvre, puis,
en fonction de p , V b , P atm , V min et V max ,lapression
p dans la bouteille àlafin de cette opération. En déduire,
en fonction des mêmes grandeurs, la variation Δp de la
pression àl ’intérieur de la bouteille.D éterminerl ap ression maximale p max que l’on peut obtenir par ce procédé
et interpréter le résultat obtenu.
3 • Calculer Δp et p max pour p =0 ,2 . l0 7 Pa ,e te n
conservant les donnéesnumériques antérieures.
4 • On considère l’instant t de la question 2, l’état du système étant identique.L ep iston fait α allers-retours par
unité de temps, la durée de chaque aller-retour est notée
Δt
Δt =
.Établir l’équation différentielle liant p et
on assimilera
à
.
5 • Le compresseur ayant démarré àl ’instant t =0,l es
conditions initiales étant celles qui ont été définies àl a
question 1, déterminer la pression p(t)à un instant t
quelconque.
Compte tenu de l’inégalité V min << V b ,o np ourra poser
τ =. Pour α =4allers et retours par seconde,
calculer le temps T au bout duquel la pression p dans
la bouteille est égale à0 ,5 × 10 7 Pa .
Fonctionnementd’une bouteille
de plongée
D’après Concourscommuns Mines -PontsM P2 004
La pression dans la bouteille peut varier de 100 à200 bars
en début de plongée jusqu’à 30 à5 0b ars en fin de plon5
V b
(αV min )
dp
dt
Δp
Δt
dp
dt
1
α
EXERCICES
Équation d’étatd’unfluide
1
206
Conseils
• Même si l’énoncé ne le demande pas explicitement,
il est vivement conseillé de tracer un graphique
représentant la pression dans le cylindre en fonction
du volume (questions 1et2).C’est en traçant un tel
graphique que l’on analyse correctement les différentes étapes du processus.
• La difficultéconsiste àdéfinir précisément le système qui, àchaque étape, subit une compression isotherme :l ’aird uc ylindre? l’air de la bouteille ?
l’ensemble ?
• Pour la question 2, lors du retour du piston, il faut
considérer deux phases, avant et après l’ouverture
de S .D éfinir précisément le système qui subit la
compression lors de ces deux phases.
Conseils
Pour toutes les questions, il suffit d’écrire l’équation d’état d’un gaz parfait.I lf aut, dans chaque
cas, bien délimiterl es ystème et bien retranscrire
les conditions de pression et de température données par l’énoncé.
La photocopie non autorisée est un délit.
gée :laréservedesécurité est caractérisée par la pression
de seuil p s .
Il faut ramener la pressiondel’air sortant de la bouteille à
la pression ambiante, pression de l’air respiré par le plongeur.L ed étendeur assure cette fonction. Ce dispositif,
inséré entre la bouteille d’air et la bouche du plongeur
fournit de l’air àl ad emande de ce dernier.L ed étendeur
possède ainsi plusieurs fonctions :
•ilréduit la pression de l’air issu de la bouteille àlapression p(z)d el’endroitoùsetrouveleplongeur ;
•i lf ournit la quantité d’air nécessaireàl ar espiration du
plongeur àlapression p(z);
•ilsebloque lorsque la pression P b de l’air dans la bouteille devient de l’ordre de la pression seuil p s .L ep longeur est alors averti qu’il doit passer sur la réserve et
remonter.
1 • Au début de la plongée, la bouteille, de volume V b ,
est remplie d’air àlatempérature T b = T a sous une pression p ;e np rofondeur ou en surface, la bouteille et son
contenu prennent la température T e ,c onstante, de l’eau
environnante. Calculerl aq uantité (expriméee nm oles)
d’air contenue dans la bouteille, d’une part au début de la
plongée (n i ),d ’autre part au moment où le détendeurs e
bloque (n s ).
Application numérique :
p =2,0 . 10 7 Pa , p s =4,0 . 10 6 Pa , V b =1,0 . 10 –2 m 3 ,
T a =293 Ke tT e =288 K.
2•La respiration du plongeur est périodique, de fréquence f .S ous la pression locale p(z)e tàl at empérature T e ,l ev olume moyen de l’air inspiré au cours de
chaque cycle (avant d’êtreensuite rejeté àl’extérieur) est
Ω 0 ;calculerletemps Δt s (z)a ubout duquel le détendeur
se bloque ;p our simplifierl es calculs on admettraq ue le
temps de descente du plongeur àl ap rofondeur z est
négligeable, que ce dernier se maintient tout le temps
Δt s (z)àla profondeur z et que le volume Ω 0 ne dépend
pas de la profondeur.
Application numérique :
p(z)=3,0 bar , Ω 0 =2,0 . 10 –3 m 3 , f =0,2 s –1
et T =288 K.
3•Comparer Δt s (z)a ut emps Δt s (0) mis par le détendeur pour se bloquer si le plongeur reste en surface
(p =1,0 bar) et T = T a .
Le piston fait un aller-retour ;d éterminerl ev olume d’air
V dans le cylindrel orsque la soupape S s’ouvre, puis,
en fonction de p , V b , P atm , V min et V max ,lapression
p dans la bouteille àlafin de cette opération. En déduire,
en fonction des mêmes grandeurs, la variation Δp de la
pression àl ’intérieur de la bouteille.D éterminerl ap ression maximale p max que l’on peut obtenir par ce procédé
et interpréter le résultat obtenu.
3 • Calculer Δp et p max pour p =0 ,2 . l0 7 Pa ,e te n
conservant les donnéesnumériques antérieures.
4 • On considère l’instant t de la question 2, l’état du système étant identique.L ep iston fait α allers-retours par
unité de temps, la durée de chaque aller-retour est notée
Δt
Δt =
.Établir l’équation différentielle liant p et
on assimilera
à
.
5 • Le compresseur ayant démarré àl ’instant t =0,l es
conditions initiales étant celles qui ont été définies àl a
question 1, déterminer la pression p(t)à un instant t
quelconque.
Compte tenu de l’inégalité V min << V b ,o np ourra poser
τ =. Pour α =4allers et retours par seconde,
calculer le temps T au bout duquel la pression p dans
la bouteille est égale à0 ,5 × 10 7 Pa .
Fonctionnementd’une bouteille
de plongée
D’après Concourscommuns Mines -PontsM P2 004
La pression dans la bouteille peut varier de 100 à200 bars
en début de plongée jusqu’à 30 à5 0b ars en fin de plon5
V b
(αV min )
dp
dt
Δp
Δt
dp
dt
1
α
EXERCICES
Équation d’étatd’unfluide
1
206
Conseils
• Même si l’énoncé ne le demande pas explicitement,
il est vivement conseillé de tracer un graphique
représentant la pression dans le cylindre en fonction
du volume (questions 1et2).C’est en traçant un tel
graphique que l’on analyse correctement les différentes étapes du processus.
• La difficultéconsiste àdéfinir précisément le système qui, àchaque étape, subit une compression isotherme :l ’aird uc ylindre? l’air de la bouteille ?
l’ensemble ?
• Pour la question 2, lors du retour du piston, il faut
considérer deux phases, avant et après l’ouverture
de S .D éfinir précisément le système qui subit la
compression lors de ces deux phases.
Conseils
Pour toutes les questions, il suffit d’écrire l’équation d’état d’un gaz parfait.I lf aut, dans chaque
cas, bien délimiterl es ystème et bien retranscrire
les conditions de pression et de température données par l’énoncé.