©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • Déterminerl es pressions P 1 et P 2 ainsi que les
volumes V 1 et V 2 lorsque la pression et la température extérieures prennent des valeurs quelconques P e
et T e .O npourra poser α =, X 1 =
et X 2 =.
2 • La pression extérieure étant maintenue égale à P 0 ,
la température varie légèrement : T e = T 0 (1 + ε)a vec
ε << 1.
Déterminer V 1 et V 2 et le volume total de gaz V sous
la forme d’une fonction affine de la température T .
Définir et exprimer un coefficient de dilatation àp ression extérieure constante pour le système prisd ans les
conditions initiales.
P 2
V 2
T e
P 1
V 1
T e
2S
S
P e
T e
V 2
V 0
T e P 0
T 0 P e
V 1
V 0
Remplissage d’unebouteille
d’air comprimé
D’après Concourscommuns Mines -Ponts MP 2004
Afin d’effectuer le remplissage d’une bouteille àp arois
indéformables,devolume V b ,onutilise un compresseur
constitué (voir figure) d’un cylindre,dedeux soupapes S
et S et d’un piston,mobile sans frottement entre les positions extrêmes AA et BB .Lors de l’aller(phase d’aspiration) la soupape S est ouverte alors que S est fermée ;
on aalors admission de l’air atmosphérique dans le cylindre àlapression P atm .Lors du retour (phase de compression), l’air dans le cylindre est tout d’abord comprimé, de
la pression P a àlapression P b, Set S étant fermées ;
la soupape S restant fermée,l as oupape S s’ouvre dès
que la pression dans le cylindre devient supérieure àcelle
de la bouteille P b .Q uand le piston est en AA ,l ev olume limité par le piston et la section CC est V min ;q uand
le piston este n BB ,c ev olume est égal à V max .L es
transformations de l’airsont isothermes(les températures
dans le cylindre et dans la bouteille sont identiques, égales
àl at empérature T a de l’atmosphère); l’air est toujours
considéré comme un gaz parfait.
1 • La pompe n’ayant pas encore fonctionné, l’état initial
du système est le suivant :
•Bouteille :pression P b = P atm ,température T b = T a .
•C ylindre :p ression P atm , température T a ,p osition du
piston AA .
Le piston fait un aller et un retour.Déterminerlap ression
P b àl’intérieur de la bouteille àlafin de cette transformation ;endéduire,sous l’hypothèse V min << V b ,lavariation
Δn de la quantité de gaz contenue danslabouteille.
Application numérique : P atm =1,0 . 10 5 Pa ,
V b =5.10 –3 m 3 , V min =2.10 –5 m 3 , V max =2.10 –3 m 3 ,
T a =293 Ke tR =8,31 J.mol –1 .K –1 .
2 • Le compresseur ayant fonctionné, on considère qu’à un
instant t donné, la soupape S est ouverte alors que la soupape S est fermée ;l’état du système est alors le suivant :
•Bouteille :pression P b = p ,température T b = T a .
•Cylindre :p ression P atm ,t empérature T a ,p osition du
piston AA .
Retour
Aller
P a
P a
P b
V b
BA
SC
B
A
C S
4
EXERCICES
Équation d’étatd’unfluide
1
205
Conseils
Dans un problèmeunpeu complexe, comme celuici,i lf autc ommencer part rouver autant d’équations qu’il ya d’inconnues. Nous avons ici
4quantités inconnues :P 1 ,P 2 ,V 1 et V 2 .
Il nous fa ut donc trouver 4é quations quit raduisent toutes les données significatives de l’énoncé :
•Chaque cylindreest rempli d’un gazparfait, d’où
deux équations.
•L es deux volumes sont liés entre eux parl at ige
rigide, d’où une équation.
•Lesolide constitué parl es pistons et la tige est à
l’équilibrem écanique, soit une équation.
Nul n’est àl ’abri d’une erreur de calcul !I l
convient donc de lesdétecter en vérifiantles résultats :
•Homogénéité (d’où l’intérêt de faire apparaître
des grandeurs adimensionnées comme α , X 1 et
X 2 ).
•Vérification pour des cas limitespour lesquels la
solution est évidente.
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • Déterminerl es pressions P 1 et P 2 ainsi que les
volumes V 1 et V 2 lorsque la pression et la température extérieures prennent des valeurs quelconques P e
et T e .O npourra poser α =, X 1 =
et X 2 =.
2 • La pression extérieure étant maintenue égale à P 0 ,
la température varie légèrement : T e = T 0 (1 + ε)a vec
ε << 1.
Déterminer V 1 et V 2 et le volume total de gaz V sous
la forme d’une fonction affine de la température T .
Définir et exprimer un coefficient de dilatation àp ression extérieure constante pour le système prisd ans les
conditions initiales.
P 2
V 2
T e
P 1
V 1
T e
2S
S
P e
T e
V 2
V 0
T e P 0
T 0 P e
V 1
V 0
Remplissage d’unebouteille
d’air comprimé
D’après Concourscommuns Mines -Ponts MP 2004
Afin d’effectuer le remplissage d’une bouteille àp arois
indéformables,devolume V b ,onutilise un compresseur
constitué (voir figure) d’un cylindre,dedeux soupapes S
et S et d’un piston,mobile sans frottement entre les positions extrêmes AA et BB .Lors de l’aller(phase d’aspiration) la soupape S est ouverte alors que S est fermée ;
on aalors admission de l’air atmosphérique dans le cylindre àlapression P atm .Lors du retour (phase de compression), l’air dans le cylindre est tout d’abord comprimé, de
la pression P a àlapression P b, Set S étant fermées ;
la soupape S restant fermée,l as oupape S s’ouvre dès
que la pression dans le cylindre devient supérieure àcelle
de la bouteille P b .Q uand le piston est en AA ,l ev olume limité par le piston et la section CC est V min ;q uand
le piston este n BB ,c ev olume est égal à V max .L es
transformations de l’airsont isothermes(les températures
dans le cylindre et dans la bouteille sont identiques, égales
àl at empérature T a de l’atmosphère); l’air est toujours
considéré comme un gaz parfait.
1 • La pompe n’ayant pas encore fonctionné, l’état initial
du système est le suivant :
•Bouteille :pression P b = P atm ,température T b = T a .
•C ylindre :p ression P atm , température T a ,p osition du
piston AA .
Le piston fait un aller et un retour.Déterminerlap ression
P b àl’intérieur de la bouteille àlafin de cette transformation ;endéduire,sous l’hypothèse V min << V b ,lavariation
Δn de la quantité de gaz contenue danslabouteille.
Application numérique : P atm =1,0 . 10 5 Pa ,
V b =5.10 –3 m 3 , V min =2.10 –5 m 3 , V max =2.10 –3 m 3 ,
T a =293 Ke tR =8,31 J.mol –1 .K –1 .
2 • Le compresseur ayant fonctionné, on considère qu’à un
instant t donné, la soupape S est ouverte alors que la soupape S est fermée ;l’état du système est alors le suivant :
•Bouteille :pression P b = p ,température T b = T a .
•Cylindre :p ression P atm ,t empérature T a ,p osition du
piston AA .
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P a
P a
P b
V b
BA
SC
B
A
C S
4
EXERCICES
Équation d’étatd’unfluide
1
205
Conseils
Dans un problèmeunpeu complexe, comme celuici,i lf autc ommencer part rouver autant d’équations qu’il ya d’inconnues. Nous avons ici
4quantités inconnues :P 1 ,P 2 ,V 1 et V 2 .
Il nous fa ut donc trouver 4é quations quit raduisent toutes les données significatives de l’énoncé :
•Chaque cylindreest rempli d’un gazparfait, d’où
deux équations.
•L es deux volumes sont liés entre eux parl at ige
rigide, d’où une équation.
•Lesolide constitué parl es pistons et la tige est à
l’équilibrem écanique, soit une équation.
Nul n’est àl ’abri d’une erreur de calcul !I l
convient donc de lesdétecter en vérifiantles résultats :
•Homogénéité (d’où l’intérêt de faire apparaître
des grandeurs adimensionnées comme α , X 1 et
X 2 ).
•Vérification pour des cas limitespour lesquels la
solution est évidente.