©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
207
Échauffementàv olume constant
Un fluide d’équation d’état f(P, V, T)=0 est enfermé
dans un récipient de volume constant V 0 .
L’état initial est caractérisé par : T = T 0 et P = P 0 .
Le volume étant maintenu constant, on impose une augmentation ΔT de température.
T passe de T 0 à T 0 + ΔT et la pression passe de P 0
à P 0 + ΔP .
1 • Le fluide est un gaz parfait. Exprimer ΔP en fonction de P 0 , T 0 et ΔT .
A. N. : Calculer ΔP pour ΔT =1K, P 0 =1b ar et
T 0 =300 K.
2•Le fluide est une phasec ondensée idéale, indilatable et incompressible. Déterminer ΔP .
3 • Le fluide auncoefficient de dilatation a et un coefficient de compressibilité isotherme χ T supposés constants dans le domaine de température et de pression
considérés.
Écrire son équation d’état (valable dans ce domaine de
T et P )etexprimer ΔP .
Pour le mercure (α =1,5 . 10 –4 K –1 et
χ T =3,8 . 10 –11 Pa –1 ), calculer ΔP pour ΔT =1K.
Que se passe-t-ils i, dans un thermomètre àl iquide,
celui-ci atteint le haut de la colonne ?
Conclure sur le bien-fondé du modèled el ap hase
condensée idéale pour cette expérience.
Fusionthermonucléaire
1 • On considère deux sphères chargées A et B ,d e
même masse m et de même charge q . B est initialement
immobile et A est lancée contre B depuis une position
éloignée, avec une vitesse initiale v 0 ;o ns uppose que la
droite qui relie les centres des sphères et les vecteurs vitesses sont colinéaires. Déterminer d ,d istance minimale
entre les deux centres.
7
6
2 • On aimerait réaliserlafusion de noyaux de deutérium
portés àtrès haute température. On supposeque les interactions attractives entre nucléons l’emportent sur la répulsion coulombienne si la distancee ntre les centres des
noyaux devient inférieureà d 0 ,avec d 0 =3,7 . 10 –15 m.
Donner l’ordred eg randeurd el at empérature àp artir de
laquelle la fusion est envisageable.
Données :c harge élémentaire: e=1,6 . 10 –19 C;
ε 0 1 . 10 –11 F.m –1 .
3 • En fait, la fusion s’amorce pour des températures voisines de quelques 10 7 K.O np eut tenterd ’expliquer ce
phénomène par le fait que la vitesse quadratique moyenne
u n’est qu’une moyenne et que certains noyaux sont plus
rapides. Un modèle statistique de la répartition des vitesses des particules d’un gaz àl ’équilibre (loi de Maxwell)
nous donne la probabilité (x)p our une particule d’avoir
une vitesse supérieure à xu :
Si on suppose qu’il suffit qu’il suffit que une molécule
sur 1m illiard ait une vitesse suffisante, que devientl a
condition sur la température ?C et argument fournit-il
une explication ànotre problème ?
Tamis moléculaire
Une mole de gaz parfaite st
contenue dans une enceinte
rigide (E)d evolume V .
L’ensemble est maintenu àl a
température T.
1 • On perce dans la paroi un trou d’aire S par lequel
le gaz s’échappe dans une enceinte (E)i nitialement
vide, de même volume que (E)e tm aintenue àl a
même température.
Àq uelle condition peut-onc onserver l’hypothèse
d’isotropiededistribution des vitesses ?
2 • N et N étant les nombres de particules présentes
dans les enceintes E et E àl’instant t et u la vitesse quadratique du gaz àlatempérature T ,m ontrer que
=(N–N ).
d N
d t
Su
6V
8
x
0
0,5
1
2
3
3,8
4
P(x) 1 0,86 0,39 7,4 . 10 –3 5,9 . 10 –5 2,1 . 10 –9 4,1 . 10 –10
Conseils
•Question 1: Il suffit d’écrirel’équation d’état en
remarquant que le volume V est identique dans
l’état initial et dansl’état final.
•Quelle est l’équation d’état d’une phase condensée idéale ?L ap ression et la température sontelles dépendantes l’une de l’autre comme, par
exemple, pour un gaz parfait ?
•Question 3: pour obtenir l’équation d’état, on
détermine V(t)e nsupposant P constante àpartir de α ,puis on applique la définition de χ T à
la relation obtenue.
Conseils
•Question 1: voir le cours de mécanique (système
isolé de deux particules).I ls uffit d’exprimer la
conservation de l’énergie. C’est encore plus simple dans le référentiel barycentrique.
•Pour la question 2, on cherche un ordre de grandeur.T out calcul précis est superflu.
(E)
1 er cas
(E)
EXERCICES
Équation d’étatd’unfluide
1
La photocopie non autorisée est un délit.
207
Échauffementàv olume constant
Un fluide d’équation d’état f(P, V, T)=0 est enfermé
dans un récipient de volume constant V 0 .
L’état initial est caractérisé par : T = T 0 et P = P 0 .
Le volume étant maintenu constant, on impose une augmentation ΔT de température.
T passe de T 0 à T 0 + ΔT et la pression passe de P 0
à P 0 + ΔP .
1 • Le fluide est un gaz parfait. Exprimer ΔP en fonction de P 0 , T 0 et ΔT .
A. N. : Calculer ΔP pour ΔT =1K, P 0 =1b ar et
T 0 =300 K.
2•Le fluide est une phasec ondensée idéale, indilatable et incompressible. Déterminer ΔP .
3 • Le fluide auncoefficient de dilatation a et un coefficient de compressibilité isotherme χ T supposés constants dans le domaine de température et de pression
considérés.
Écrire son équation d’état (valable dans ce domaine de
T et P )etexprimer ΔP .
Pour le mercure (α =1,5 . 10 –4 K –1 et
χ T =3,8 . 10 –11 Pa –1 ), calculer ΔP pour ΔT =1K.
Que se passe-t-ils i, dans un thermomètre àl iquide,
celui-ci atteint le haut de la colonne ?
Conclure sur le bien-fondé du modèled el ap hase
condensée idéale pour cette expérience.
Fusionthermonucléaire
1 • On considère deux sphères chargées A et B ,d e
même masse m et de même charge q . B est initialement
immobile et A est lancée contre B depuis une position
éloignée, avec une vitesse initiale v 0 ;o ns uppose que la
droite qui relie les centres des sphères et les vecteurs vitesses sont colinéaires. Déterminer d ,d istance minimale
entre les deux centres.
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2 • On aimerait réaliserlafusion de noyaux de deutérium
portés àtrès haute température. On supposeque les interactions attractives entre nucléons l’emportent sur la répulsion coulombienne si la distancee ntre les centres des
noyaux devient inférieureà d 0 ,avec d 0 =3,7 . 10 –15 m.
Donner l’ordred eg randeurd el at empérature àp artir de
laquelle la fusion est envisageable.
Données :c harge élémentaire: e=1,6 . 10 –19 C;
ε 0 1 . 10 –11 F.m –1 .
3 • En fait, la fusion s’amorce pour des températures voisines de quelques 10 7 K.O np eut tenterd ’expliquer ce
phénomène par le fait que la vitesse quadratique moyenne
u n’est qu’une moyenne et que certains noyaux sont plus
rapides. Un modèle statistique de la répartition des vitesses des particules d’un gaz àl ’équilibre (loi de Maxwell)
nous donne la probabilité (x)p our une particule d’avoir
une vitesse supérieure à xu :
Si on suppose qu’il suffit qu’il suffit que une molécule
sur 1m illiard ait une vitesse suffisante, que devientl a
condition sur la température ?C et argument fournit-il
une explication ànotre problème ?
Tamis moléculaire
Une mole de gaz parfaite st
contenue dans une enceinte
rigide (E)d evolume V .
L’ensemble est maintenu àl a
température T.
1 • On perce dans la paroi un trou d’aire S par lequel
le gaz s’échappe dans une enceinte (E)i nitialement
vide, de même volume que (E)e tm aintenue àl a
même température.
Àq uelle condition peut-onc onserver l’hypothèse
d’isotropiededistribution des vitesses ?
2 • N et N étant les nombres de particules présentes
dans les enceintes E et E àl’instant t et u la vitesse quadratique du gaz àlatempérature T ,m ontrer que
=(N–N ).
d N
d t
Su
6V
8
x
0
0,5
1
2
3
3,8
4
P(x) 1 0,86 0,39 7,4 . 10 –3 5,9 . 10 –5 2,1 . 10 –9 4,1 . 10 –10
Conseils
•Question 1: Il suffit d’écrirel’équation d’état en
remarquant que le volume V est identique dans
l’état initial et dansl’état final.
•Quelle est l’équation d’état d’une phase condensée idéale ?L ap ression et la température sontelles dépendantes l’une de l’autre comme, par
exemple, pour un gaz parfait ?
•Question 3: pour obtenir l’équation d’état, on
détermine V(t)e nsupposant P constante àpartir de α ,puis on applique la définition de χ T à
la relation obtenue.
Conseils
•Question 1: voir le cours de mécanique (système
isolé de deux particules).I ls uffit d’exprimer la
conservation de l’énergie. C’est encore plus simple dans le référentiel barycentrique.
•Pour la question 2, on cherche un ordre de grandeur.T out calcul précis est superflu.
(E)
1 er cas
(E)
EXERCICES
Équation d’étatd’unfluide
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