1 • a) L’angle d’intersection des deux normales aux faces du
prisme a pour mesure π – A (la somme des angles du quadrilatère SIMI ′ est de 2π). La relation sur les angles du triangle
IMI ′ donne :
r – r′ + π – A = π
(r′ est négatif d’après les orientations).
D’où r – r′ = A .
Les relations de Descartes donnent :
sini = n sinr et sini′ = n sinr′ (car i′ est aussi négatif).
b) L’angle de déviation D est la somme de deux angles
(i′ – r′) et – (i – r) ; (le signe – vient des orientations).
D’où :
D = i′ – i – r + r′ = i′ – i – A .
Sur le schéma, on a D < 0 .
2 • a) Calculons les déviations algébriques successives
imposées par les prismes à l’aide du schéma ci-dessous.
Ces déviations sont :
D 1 = i ′
1 – i + A
(D 1 < 0 ; i > 0 ; i ′
1 < 0 ; A > 0) ;
D 2 = i ′
2 – i 2 – A 0 (D 2 > 0 ; i 2 < 0 ; i ′
2 > 0 ; A 0 > 0) ;
D 3 = i ′– i 3 + A
(D 3 < 0 ; i 3 > 0 ; i ′< 0 ; A > 0).
Comme i 2 = i 1 et i 3 = i 2 , la somme des trois déviations
donne : D = i – i + (π – A 0 ).
Cette formule est semblable à celle obtenue à la première
question pour un prisme d’angle π – A 0 .
b) Une déviation nulle impose un schéma symétrique par rapport au plan (Π):
La symétrie de la figure indique que le prisme actuel est au
minimum de déviation.
On a alors : i 0 = – i 0 et r 0 = – r 0 =
.
La relation aux sinus impose donc : n sin i 0 = n 0 sin
(1).
A 0
2
A 0
2
A O
n O n O
i O
i O
A O
2
i
A O
i
π
A O
2
π
2
–
A O
2
π
2
–
A O
2
i 2
i
i’ 2
i’ 1
A 0
A
A
i’
1
3
2
+
i 3
CORRIGÉS
Le prisme, utilisation en spectroscopie
6
196
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Les faces AB′ et AB étant orthogonales, les rayons incident
SI et émergent S′I ′ sont orthogonaux.
Donc
quelle que soit la valeur de l’angle d’incidence i . Cela justifie le nom d’équerre optique donné à ce prisme.
Une fois taillé, un tel prisme est indéformable ; ce qui n’est
pas le cas du système équivalent réalisé par l’association de
deux miroirs. Cette équerre optique est utilisée en arpentage
et dans tous les montages où l’on désire renvoyer un faisceau
lumineux dans une direction orthogonale.
3 • L’angle D est indépendant de l’indice du prisme. La
dispersion du prisme est donc sans influence sur la déviation
D du rayon incident.
Cependant, si le rayon incident contient deux radiations de
longueurs d’onde différentes l 1 et l 2 , la dispersion du prisme donne naissance à deux rayons réfractés distincts IJ 1 et
IJ 2 respectivement d’angle de réfraction r 1 et r 2 . Chacun
de ces rayons réfractés se réfléchit ensuite sur les deux faces
B′C et BC du prisme en des points distincts J 1 , J 2 et J′ 1 ,
J′ 2 , puis coupe orthogonalement le rayon réfracté qui lui a
donné naissance. Enfin, ces deux rayons tombent sur la face
AB′ , en des points distincts I ′
1 et I ′
2 , en faisant des angles
de réfraction r′ 1 = r 1 et r′ 2 = r 2 .
Il suffit, pour s’en convaincre, de reprendre pour chacun
d’eux le raisonnement fait au paragraphe précédent.
En conséquence, les deux rayons émergents sortent parallèlement entre eux, en des points distincts mais tous deux orthogonalement au rayon incident commun SI .
Un faisceau de lumière parallèle orthogonal à AB ressort
sous forme d’un faisceau parallèle orthogonal à A′B′ .
4 • Ce prisme est donc stigmatique pour les couples de points
(S , S′) situés à l’infini dans deux directions orthogonales telles que celle du rayon incident SI et celle du rayon émergent
I ′S′ . Pour ces couples de points, le prisme ne présente pas
d’aberration chromatique, puisque la dispersion du prisme est
sans influence sur la direction des rayons émergents.
C’est ce qui fait l’intérêt de cette équerre optique.
Étude d’un spectroscope
à prisme à vision directe
A
S
+
D
i’
i’– r’
i – r
r’
r
i
I
I ’
M
π –A
3
D =
π
2
prisme a pour mesure π – A (la somme des angles du quadrilatère SIMI ′ est de 2π). La relation sur les angles du triangle
IMI ′ donne :
r – r′ + π – A = π
(r′ est négatif d’après les orientations).
D’où r – r′ = A .
Les relations de Descartes donnent :
sini = n sinr et sini′ = n sinr′ (car i′ est aussi négatif).
b) L’angle de déviation D est la somme de deux angles
(i′ – r′) et – (i – r) ; (le signe – vient des orientations).
D’où :
D = i′ – i – r + r′ = i′ – i – A .
Sur le schéma, on a D < 0 .
2 • a) Calculons les déviations algébriques successives
imposées par les prismes à l’aide du schéma ci-dessous.
Ces déviations sont :
D 1 = i ′
1 – i + A
(D 1 < 0 ; i > 0 ; i ′
1 < 0 ; A > 0) ;
D 2 = i ′
2 – i 2 – A 0 (D 2 > 0 ; i 2 < 0 ; i ′
2 > 0 ; A 0 > 0) ;
D 3 = i ′– i 3 + A
(D 3 < 0 ; i 3 > 0 ; i ′< 0 ; A > 0).
Comme i 2 = i 1 et i 3 = i 2 , la somme des trois déviations
donne : D = i – i + (π – A 0 ).
Cette formule est semblable à celle obtenue à la première
question pour un prisme d’angle π – A 0 .
b) Une déviation nulle impose un schéma symétrique par rapport au plan (Π):
La symétrie de la figure indique que le prisme actuel est au
minimum de déviation.
On a alors : i 0 = – i 0 et r 0 = – r 0 =
.
La relation aux sinus impose donc : n sin i 0 = n 0 sin
(1).
A 0
2
A 0
2
A O
n O n O
i O
i O
A O
2
i
A O
i
π
A O
2
π
2
–
A O
2
π
2
–
A O
2
i 2
i
i’ 2
i’ 1
A 0
A
A
i’
1
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2
+
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CORRIGÉS
Le prisme, utilisation en spectroscopie
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La photocopie non autorisée est un délit.
Les faces AB′ et AB étant orthogonales, les rayons incident
SI et émergent S′I ′ sont orthogonaux.
Donc
quelle que soit la valeur de l’angle d’incidence i . Cela justifie le nom d’équerre optique donné à ce prisme.
Une fois taillé, un tel prisme est indéformable ; ce qui n’est
pas le cas du système équivalent réalisé par l’association de
deux miroirs. Cette équerre optique est utilisée en arpentage
et dans tous les montages où l’on désire renvoyer un faisceau
lumineux dans une direction orthogonale.
3 • L’angle D est indépendant de l’indice du prisme. La
dispersion du prisme est donc sans influence sur la déviation
D du rayon incident.
Cependant, si le rayon incident contient deux radiations de
longueurs d’onde différentes l 1 et l 2 , la dispersion du prisme donne naissance à deux rayons réfractés distincts IJ 1 et
IJ 2 respectivement d’angle de réfraction r 1 et r 2 . Chacun
de ces rayons réfractés se réfléchit ensuite sur les deux faces
B′C et BC du prisme en des points distincts J 1 , J 2 et J′ 1 ,
J′ 2 , puis coupe orthogonalement le rayon réfracté qui lui a
donné naissance. Enfin, ces deux rayons tombent sur la face
AB′ , en des points distincts I ′
1 et I ′
2 , en faisant des angles
de réfraction r′ 1 = r 1 et r′ 2 = r 2 .
Il suffit, pour s’en convaincre, de reprendre pour chacun
d’eux le raisonnement fait au paragraphe précédent.
En conséquence, les deux rayons émergents sortent parallèlement entre eux, en des points distincts mais tous deux orthogonalement au rayon incident commun SI .
Un faisceau de lumière parallèle orthogonal à AB ressort
sous forme d’un faisceau parallèle orthogonal à A′B′ .
4 • Ce prisme est donc stigmatique pour les couples de points
(S , S′) situés à l’infini dans deux directions orthogonales telles que celle du rayon incident SI et celle du rayon émergent
I ′S′ . Pour ces couples de points, le prisme ne présente pas
d’aberration chromatique, puisque la dispersion du prisme est
sans influence sur la direction des rayons émergents.
C’est ce qui fait l’intérêt de cette équerre optique.
Étude d’un spectroscope
à prisme à vision directe
A
S
+
D
i’
i’– r’
i – r
r’
r
i
I
I ’
M
π –A
3
D =
π
2