©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Minimum de déviation
d’un prisme
1 • En suivant le trajet du rayon, on lit : D = i – r + i – r.
D’autre part, la somme des angles d’un triangle valant π :
– r + – r + A = π,
soit : r + r = A, et donc D = i + i – A.
2 • Dans les relations de base du prisme : sin i = n sin r ;
sin i = n sin r ; D = i + i – A, on peut échanger les angles
i et i , et donc les angles r et r , sans modifier la valeur
de D. Cette interversion montre que l’on a en général deux
valeurs de l’angle d’incidence associées à une déviation physiquement réalisable : on retrouve cette propriété sur la courbe usuelle de déviation du prisme, où l’angle i varie entre i 0
(réflexion totale sur la deuxième face) et 90° :
3 • En particulier, au minimum de déviation, l’unicité de
valeur de i associée à D impose i = i : au minimum de
déviation, le schéma devient symétrique entre l’entrée et la
sortie du prisme :
Sur cette figure où les angles sont indiqués, la relation
sin i = n sin r devient, au minimum de déviation :
sin i m = n sin A/2.
Numériquement : i m ≈ 61° et D m ≈ 62°.
A
prisme au maximum
de déviation
plan de symétrie
i = (D m + A)/2
i = (D m + A)/2
r = A/2 = r 2
90°
i
D
i = i 1 ; i = i 1 ; déviation D
i = i 1 ; i = i 1 ; déviation D
i = i = i m pour D = D m
i o i m
π
2
π
2
1
Équerre optique
1 • Les réflexions en J et J font tourner le rayon lumineux
des angles respectifs π – 2j et π – 2j, dont la somme doit
être égale à
, soit : j + j = .
Dans le triangle JCJ, la somme des angles
π
2
– j, g et
π
2
– j est égale à π.
La condition recherchée est donc : g = .
En écrivant que la somme des angles du quadrilatère ABCB′
est 2π , on déduit :
Il en résulte que les normales en I et J font entre elles un
angle aigu de
et qu’il en est de même pour les
normales en I ′ et J′ .
Il vient alors :
et
Soit r lim , la valeur maximale de r , correspondant à l’incidence rasante n sin r lim = 1 . Cette valeur correspond aussi à
l’angle minimum d’incidence assurant la réflexion totale d’un
rayon à l’intérieur du prisme.
Comme r peut varier de – r lim à + r lim , il en résulte que
| j | peut être inférieur à r lim (et
même nul), ce qui signifie que la réflexion en J n’est pas toujours totale : il est donc nécessaire de métalliser la face BC
du prisme pour conserver, en toutes circonstances, la totalité
du faisceau lumineux.
On aboutit à la même conclusion pour la réflexion en J′ et
à la nécessité de métalliser aussi la face B′C .
2 • La somme des angles du quadrilatère AIHI ′ est égale à
2π . Les angles en A et en H étant rectangles, il en résulte
que les angles de réfraction r et r′ sont égaux. Donc les
angles d’incidence i et d’émergence i′ sont égaux aussi.
–
,
lim
lim
rj r
++
ππ
88
′ =′ +
jr
π
8
.
jr =+
π
8
5
828
πππ
−=
π
π
π
2
22
5
8
++ ==
bg
b
, soit
.
A
B ’
S
I
I ’
r ’
j ’
B
J ’
J
C
S ’
i ’
i
r
j
H
γ
β
β
π
4
π
4
3 π
2
2
195
Corrigés
La photocopie non autorisée est un délit.
Minimum de déviation
d’un prisme
1 • En suivant le trajet du rayon, on lit : D = i – r + i – r.
D’autre part, la somme des angles d’un triangle valant π :
– r + – r + A = π,
soit : r + r = A, et donc D = i + i – A.
2 • Dans les relations de base du prisme : sin i = n sin r ;
sin i = n sin r ; D = i + i – A, on peut échanger les angles
i et i , et donc les angles r et r , sans modifier la valeur
de D. Cette interversion montre que l’on a en général deux
valeurs de l’angle d’incidence associées à une déviation physiquement réalisable : on retrouve cette propriété sur la courbe usuelle de déviation du prisme, où l’angle i varie entre i 0
(réflexion totale sur la deuxième face) et 90° :
3 • En particulier, au minimum de déviation, l’unicité de
valeur de i associée à D impose i = i : au minimum de
déviation, le schéma devient symétrique entre l’entrée et la
sortie du prisme :
Sur cette figure où les angles sont indiqués, la relation
sin i = n sin r devient, au minimum de déviation :
sin i m = n sin A/2.
Numériquement : i m ≈ 61° et D m ≈ 62°.
A
prisme au maximum
de déviation
plan de symétrie
i = (D m + A)/2
i = (D m + A)/2
r = A/2 = r 2
90°
i
D
i = i 1 ; i = i 1 ; déviation D
i = i 1 ; i = i 1 ; déviation D
i = i = i m pour D = D m
i o i m
π
2
π
2
1
Équerre optique
1 • Les réflexions en J et J font tourner le rayon lumineux
des angles respectifs π – 2j et π – 2j, dont la somme doit
être égale à
, soit : j + j = .
Dans le triangle JCJ, la somme des angles
π
2
– j, g et
π
2
– j est égale à π.
La condition recherchée est donc : g = .
En écrivant que la somme des angles du quadrilatère ABCB′
est 2π , on déduit :
Il en résulte que les normales en I et J font entre elles un
angle aigu de
et qu’il en est de même pour les
normales en I ′ et J′ .
Il vient alors :
et
Soit r lim , la valeur maximale de r , correspondant à l’incidence rasante n sin r lim = 1 . Cette valeur correspond aussi à
l’angle minimum d’incidence assurant la réflexion totale d’un
rayon à l’intérieur du prisme.
Comme r peut varier de – r lim à + r lim , il en résulte que
| j | peut être inférieur à r lim (et
même nul), ce qui signifie que la réflexion en J n’est pas toujours totale : il est donc nécessaire de métalliser la face BC
du prisme pour conserver, en toutes circonstances, la totalité
du faisceau lumineux.
On aboutit à la même conclusion pour la réflexion en J′ et
à la nécessité de métalliser aussi la face B′C .
2 • La somme des angles du quadrilatère AIHI ′ est égale à
2π . Les angles en A et en H étant rectangles, il en résulte
que les angles de réfraction r et r′ sont égaux. Donc les
angles d’incidence i et d’émergence i′ sont égaux aussi.
–
,
lim
lim
rj r
++
ππ
88
′ =′ +
jr
π
8
.
jr =+
π
8
5
828
πππ
−=
π
π
π
2
22
5
8
++ ==
bg
b
, soit
.
A
B ’
S
I
I ’
r ’
j ’
B
J ’
J
C
S ’
i ’
i
r
j
H
γ
β
β
π
4
π
4
3 π
2
2
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