On déduit des x i les valeurs des D(l i ) correspondants, puis
on utilise la courbe tracée ci-dessus.
Télémètre à prismes
1 • L’objectif L 1 donne de A une image A′ 1 située en
F 1 ′ = I. Le rayon AB 2 donne, par réflexion dans P 2 , un émergent incliné de e sur l’axe optique (cf. schéma associé à la
question 3). En conséquence, l’objectif L 2 donne de A une
image A′ 2 dans son plan focal, tel que :
—
F ′
2 A′ 2 =
—
IA′ 2 =f′e.
La distance entre les deux images s’établit à a = f ′e .
2 • a) Les rayons paraxiaux issus de L 2 tombent sur P sous
une faible incidence i . Il en résulte que l’angle de réfraction
r est faible ainsi que l’angle de réfraction r′=a– r et, par
voie de conséquence, il en est de même pour l’angle d’émergence i′ .
Ainsi, les formules du prisme s’écrivent :
i = nr ; i′=nr′; r + r′=a; b = (i + i′) – a
donc :
b = (n – 1)a .
b) A′ 2 est au-dessus de A′ 1 , le prisme dévie la lumière vers sa
base. Donc l’image A′ 2 sera ramenée en I si le prisme P est
placé à la distance x telle que a = xb = x(n –1)a; d’où:
x
a
n
= (–)
.
1 α
i
i’
r’
r
α
β
4
L 1
L 2
z
x
z’
F
F’
D
CORRIGÉS
Le prisme, utilisation en spectroscopie
6
197
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Pour les prismes d’angle A = , le premier schéma indique :
i = i =
–
.
Pour le premier prisme, on a r = i 0 , donc
r = A + r =
+ i 0 . La relation sin i = n sin r impose alors :
sin – = n sin + i 0
ou encore :
cos
= n cos i 0 (2).
En élevant (1) et (2) au carré, on en déduit :
sin
2
=
.
Cette relation définit A 0 si n 0 n.
Numériquement : A 0 = 122°.
c) En conservant i =
–
, on utilise successivement :
• n sin r 1 = sin i
• i 0 = r 1 = r 1 –
• n 0 sin r 0 = n sin i 0
• r 0 = A 0 + r 0
• n sin i 0 = n 0 sin r 0
• r 3 = r 3 –
= i 0 –
• sin i = n sin r 3
pour déterminer successivement les angles r 1 , i 0 , r 0 , i 0 , r 3 ,
i, qui donnent accès à la déviation D = i – i + π – A 0 . On
obtient le tableau fourni, où on a : r = r 1 , et r = r 3 .
d) Le graphe de D(l) a l’allure suivante :
e) La fente est dans le plan focal objet de la lentille L 1 . Donc
un faisceau de lumière parallèle à (z′z) arrive sur le prisme.
Il est dévié d’un angle D(l) par celui-ci puis converge dans
le plan focal image de L 2 en un point de coordonnée
x(l)=+D(l) f ′ (le rayon passant par le centre de L 2 n’est
pas dévié).
D
λ.10 7
7,2
6,9
6,6
6,3
6
5,7
5,4
5,1
4,8
4,5
–1,2
–0,8
–0,4
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
π
2
π
2
π
2
A 0
2
π
2
n 2 – 1
n 2
0 – 1
A 0
2
A 0
2
π
2
A 0
2
π
2
π
2
A 0
2
π
2
π
2
x (mm)
7,7
7,2
5,1
– 2,1
D (°)
+ 2,2
+ 2,05
+ 1,45
– 0,6
l (nm)
472
(bleu)
480
(bleu)
510
(vert)
644
(rouge)
on utilise la courbe tracée ci-dessus.
Télémètre à prismes
1 • L’objectif L 1 donne de A une image A′ 1 située en
F 1 ′ = I. Le rayon AB 2 donne, par réflexion dans P 2 , un émergent incliné de e sur l’axe optique (cf. schéma associé à la
question 3). En conséquence, l’objectif L 2 donne de A une
image A′ 2 dans son plan focal, tel que :
—
F ′
2 A′ 2 =
—
IA′ 2 =f′e.
La distance entre les deux images s’établit à a = f ′e .
2 • a) Les rayons paraxiaux issus de L 2 tombent sur P sous
une faible incidence i . Il en résulte que l’angle de réfraction
r est faible ainsi que l’angle de réfraction r′=a– r et, par
voie de conséquence, il en est de même pour l’angle d’émergence i′ .
Ainsi, les formules du prisme s’écrivent :
i = nr ; i′=nr′; r + r′=a; b = (i + i′) – a
donc :
b = (n – 1)a .
b) A′ 2 est au-dessus de A′ 1 , le prisme dévie la lumière vers sa
base. Donc l’image A′ 2 sera ramenée en I si le prisme P est
placé à la distance x telle que a = xb = x(n –1)a; d’où:
x
a
n
= (–)
.
1 α
i
i’
r’
r
α
β
4
L 1
L 2
z
x
z’
F
F’
D
CORRIGÉS
Le prisme, utilisation en spectroscopie
6
197
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Pour les prismes d’angle A = , le premier schéma indique :
i = i =
–
.
Pour le premier prisme, on a r = i 0 , donc
r = A + r =
+ i 0 . La relation sin i = n sin r impose alors :
sin – = n sin + i 0
ou encore :
cos
= n cos i 0 (2).
En élevant (1) et (2) au carré, on en déduit :
sin
2
=
.
Cette relation définit A 0 si n 0 n.
Numériquement : A 0 = 122°.
c) En conservant i =
–
, on utilise successivement :
• n sin r 1 = sin i
• i 0 = r 1 = r 1 –
• n 0 sin r 0 = n sin i 0
• r 0 = A 0 + r 0
• n sin i 0 = n 0 sin r 0
• r 3 = r 3 –
= i 0 –
• sin i = n sin r 3
pour déterminer successivement les angles r 1 , i 0 , r 0 , i 0 , r 3 ,
i, qui donnent accès à la déviation D = i – i + π – A 0 . On
obtient le tableau fourni, où on a : r = r 1 , et r = r 3 .
d) Le graphe de D(l) a l’allure suivante :
e) La fente est dans le plan focal objet de la lentille L 1 . Donc
un faisceau de lumière parallèle à (z′z) arrive sur le prisme.
Il est dévié d’un angle D(l) par celui-ci puis converge dans
le plan focal image de L 2 en un point de coordonnée
x(l)=+D(l) f ′ (le rayon passant par le centre de L 2 n’est
pas dévié).
D
λ.10 7
7,2
6,9
6,6
6,3
6
5,7
5,4
5,1
4,8
4,5
–1,2
–0,8
–0,4
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
π
2
π
2
π
2
A 0
2
π
2
n 2 – 1
n 2
0 – 1
A 0
2
A 0
2
π
2
A 0
2
π
2
π
2
A 0
2
π
2
π
2
x (mm)
7,7
7,2
5,1
– 2,1
D (°)
+ 2,2
+ 2,05
+ 1,45
– 0,6
l (nm)
472
(bleu)
480
(bleu)
510
(vert)
644
(rouge)