Soit A un objet placé au PR. D’après la relation de Newton,
w FA .a =–f′ 2 ;
comme D m >> f ′ , w FA ≈ – D m et a ≈
<< f .
D’après le doc. 2,
≈
2 • Les positions des taches images des objets ponctuels sont
déterminées par l’intersection du rayon non dévié passant par
le centre optique avec la rétine (doc. 3).
Si la distance angulaire entre les deux objets est ∆a , les centres des taches images sont distants de :
h = ∆a ( f + a) ≈∆a.f
Les deux taches sont disjointes si h > 2r =
.
À la limite de résolution :
Doc. 3. Les deux taches ne se recouvrent pas.
3 • Si R =1mm, ∆a =8.10 –3 rad : cette résolution est environ vingt fois moins bonne que celle de l’œil normal ou corrigé ; ainsi, à 10 mètres par exemple, la résolution est de 8 cm,
ce qui rend impossible la lecture des panneaux indicateurs
routiers.
Si R =0,1 mm, ∆a =8.10
–4 rad.
Le fait de fermer les paupières limite l’ouverture de la
pupille, ce qui améliore la résolution, au prix, bien sûr, d’une
perte de luminosité : ainsi un œil myope «regardant » à travers un trou circulaire de 0,1 mm de diamètre peut voir «net »
sans correction.
Ceci est à rapprocher de l’utilisation du diaphragme d’un
appareil photographique pour augmenter la profondeur de
champ d’une photographie.
Loupe d’horloger
1 • L’observateur voit une image nette de l’objet si l’image
de celui-ci par la lentille est comprise entre le PR et le PP.
Si cette condition est satisfaite, alors l’objet et l’image sont
du même côté de la lentille et celle-ci n’est pas renversée. La
première condition seule est donc suffisante.
On utilise la relation de conjugaison de Descartes :
11
1
OA OA f
′
= ′
–.
4
cristallin
rétine
∆α
F
F’
O
h
∆α =
2R
D m
.
2Rf
D m
r
Rf
D
≈
′
m
.
rR
a
f
=
′
f 2
D m
• Si l’image est au PR,
(d est une distance, positive).
Alors :
Si l’image est au PP, on remplace D m par d m dans le résultat
précédent.
• Finalement, l’intervalle cherché est :
Numériquement : 3,96 cm < d < 4,76 cm.
2 •
Le centre optique, le point objet B et son image B sont alignés. On en déduit :
Dans l’approximation de Gauss :
D’après la relation de Descartes :
d’où :
• On remarque que, si l’œil est au foyer image (e = f ′) , a ′
est indépendant de d , donc de la position de l’objet.
• Dans le cas étudié, e < f ′, et a ′(d) est une fonction
décroissante : La valeur maximale de a est atteinte pour :
d = d min ; la valeur minimale pour d = d max .
3 • • a ′ max = a ′(d min )
=
=
A.N. : a ′ max =0,024 rad.
• a ′ min = a ′(d max ).
On obtient de même :
A.N. : a ′ max =0,021 rad.
′ =
′ + ′
′′ +
=
′ +
′
α min
max
max
()
– .
h
fd
fd
e
h
fD e
fD
m
m
h(f ′ + d m – e)
d m f ′
h
d min 1 – f
e
′
+ e
′ =
′
+
α
h
d
e
f
e
1–
.
–;
111
′
+= ′
ddf
α′ =
h′
d′+e
=
hd′
d( d′+e)
=
h
d 1+
e
d′
.
′=
′
hh
d
d
.
’
O
d
e
d’
A’
B’
A
B
h’
h
′
′+
<<
′
′ +
fd e
fde
d
fD e
fDe
(– )
–
(– )
–
m
m
m
m
dd
fD e
fD e
==
′
+
max
(– )
–
.
m
m
–
–
max
11
1
De df
m
+= ′
CORRIGÉS
Instruments d’observation
4
174
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
w FA .a =–f′ 2 ;
comme D m >> f ′ , w FA ≈ – D m et a ≈
<< f .
D’après le doc. 2,
≈
2 • Les positions des taches images des objets ponctuels sont
déterminées par l’intersection du rayon non dévié passant par
le centre optique avec la rétine (doc. 3).
Si la distance angulaire entre les deux objets est ∆a , les centres des taches images sont distants de :
h = ∆a ( f + a) ≈∆a.f
Les deux taches sont disjointes si h > 2r =
.
À la limite de résolution :
Doc. 3. Les deux taches ne se recouvrent pas.
3 • Si R =1mm, ∆a =8.10 –3 rad : cette résolution est environ vingt fois moins bonne que celle de l’œil normal ou corrigé ; ainsi, à 10 mètres par exemple, la résolution est de 8 cm,
ce qui rend impossible la lecture des panneaux indicateurs
routiers.
Si R =0,1 mm, ∆a =8.10
–4 rad.
Le fait de fermer les paupières limite l’ouverture de la
pupille, ce qui améliore la résolution, au prix, bien sûr, d’une
perte de luminosité : ainsi un œil myope «regardant » à travers un trou circulaire de 0,1 mm de diamètre peut voir «net »
sans correction.
Ceci est à rapprocher de l’utilisation du diaphragme d’un
appareil photographique pour augmenter la profondeur de
champ d’une photographie.
Loupe d’horloger
1 • L’observateur voit une image nette de l’objet si l’image
de celui-ci par la lentille est comprise entre le PR et le PP.
Si cette condition est satisfaite, alors l’objet et l’image sont
du même côté de la lentille et celle-ci n’est pas renversée. La
première condition seule est donc suffisante.
On utilise la relation de conjugaison de Descartes :
11
1
OA OA f
′
= ′
–.
4
cristallin
rétine
∆α
F
F’
O
h
∆α =
2R
D m
.
2Rf
D m
r
Rf
D
≈
′
m
.
rR
a
f
=
′
f 2
D m
• Si l’image est au PR,
(d est une distance, positive).
Alors :
Si l’image est au PP, on remplace D m par d m dans le résultat
précédent.
• Finalement, l’intervalle cherché est :
Numériquement : 3,96 cm < d < 4,76 cm.
2 •
Le centre optique, le point objet B et son image B sont alignés. On en déduit :
Dans l’approximation de Gauss :
D’après la relation de Descartes :
d’où :
• On remarque que, si l’œil est au foyer image (e = f ′) , a ′
est indépendant de d , donc de la position de l’objet.
• Dans le cas étudié, e < f ′, et a ′(d) est une fonction
décroissante : La valeur maximale de a est atteinte pour :
d = d min ; la valeur minimale pour d = d max .
3 • • a ′ max = a ′(d min )
=
=
A.N. : a ′ max =0,024 rad.
• a ′ min = a ′(d max ).
On obtient de même :
A.N. : a ′ max =0,021 rad.
′ =
′ + ′
′′ +
=
′ +
′
α min
max
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– .
h
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fD e
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h(f ′ + d m – e)
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m
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De df
m
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CORRIGÉS
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4
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La photocopie non autorisée est un délit.