Avant la lentille, ces deux rayons sont donc passés par le
point J du plan focal objet de la lentille, le rayon OJ n’étant pas dévié.
Cette construction montre qu’un rayon incident passant par le
point S ressort symétriquement par rapport à l’axe optique.
Ce point S a la propriété d’un sommet de miroir équivalent.
La conjugaison S
lentille
→ S détermine ce point S.
Les raisonnements et constructions sont analogues pour définir le point W, centre du miroir équivalent. Il faut maintenant
que le rayon passant par W revienne sur lui-même.
Sur la construction le rayon incident et le rayon de construction JO non dévié sont parallèles, et sortent de la lentille
en passant par J dans le plan focal image de la lentille.
La conjugaison W
lentille
→ C détermine le point W.
3 • On traduit W
lentille
→ C par :
–
=
, soit c OW =
=
De même, S
lentille
→ S donne :
–
=
, soit c
OS =
= R
4 • En écrivant la conjugaison par le miroir équivalent :
+
=
avec c
SA = c
SO + c
OA = x – R, c
SA = x – R,
et c
SW = c
SO + c OW = ,
il vient :
+
=
qui redonne bien la relation :
6xx – 5Rx – 5Rx + 4R 2 = 0.
Cette obtention est plus efficace en utilisant le miroir équivalent, puisqu’elle ne nécessite qu’une conjugaison au lieu de
trois.
6
R
1
x – R
1
x – R
R
3
2
c
SW
1
c
SA
1
c
SA
f.c OS
f . c OS
1
f
1
c
OS
1
c OS
2R
3
f . c OC
f . c OC
1
f
1
c OW
1
c OC
W
S = F
O
C
J
F
Équation d’un rayon lumineux
dans un système de lentilles
1 • La relation de conjugaison pour la lentille considérée
s’écrit :
–
=
= C.
Or a =
et a =
, d’où a – a = Cy.
2 • a) Sur un intervalle a, a varie : a = a – a = – Cy.
On assimile la dérivée
à
= –
.
a ≈ tan a est aussi la pente de y(x):a=
d
d
y
x
,
donc
+ Cy = 0.
b) En x = 0, y = 0 et a =
= a 0 ,
alors : y = 2 a 0 sin 2 x .
Le rayon lumineux a une trajectoire sinusoïdale de période
x 0 = 2π 2 .
Sur le document ci-dessus (tracé avec f = 5a), la période x 0 est
bien égale à 2π 15 a ≈ 14a.
Remarque :Cet exercice correspond à une modélisation des
fibres optiques. Il est ainsi possible de retrouver les résultats
relatifs aux fibres optiques à gradient d’indice.
x 0 = 14 a
a
C
C
a
a
C
dy
dx
d
2
y
dx 2
Cy
a
a
a
da
dx
x
x'
'
N
AM
A'
y
c AM
y
c AM
1
f
1
c MA
1
c MA
17
CORRIGÉS
Miroirs et lentilles
3
162
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
point J du plan focal objet de la lentille, le rayon OJ n’étant pas dévié.
Cette construction montre qu’un rayon incident passant par le
point S ressort symétriquement par rapport à l’axe optique.
Ce point S a la propriété d’un sommet de miroir équivalent.
La conjugaison S
lentille
→ S détermine ce point S.
Les raisonnements et constructions sont analogues pour définir le point W, centre du miroir équivalent. Il faut maintenant
que le rayon passant par W revienne sur lui-même.
Sur la construction le rayon incident et le rayon de construction JO non dévié sont parallèles, et sortent de la lentille
en passant par J dans le plan focal image de la lentille.
La conjugaison W
lentille
→ C détermine le point W.
3 • On traduit W
lentille
→ C par :
–
=
, soit c OW =
=
De même, S
lentille
→ S donne :
–
=
, soit c
OS =
= R
4 • En écrivant la conjugaison par le miroir équivalent :
+
=
avec c
SA = c
SO + c
OA = x – R, c
SA = x – R,
et c
SW = c
SO + c OW = ,
il vient :
+
=
qui redonne bien la relation :
6xx – 5Rx – 5Rx + 4R 2 = 0.
Cette obtention est plus efficace en utilisant le miroir équivalent, puisqu’elle ne nécessite qu’une conjugaison au lieu de
trois.
6
R
1
x – R
1
x – R
R
3
2
c
SW
1
c
SA
1
c
SA
f.c OS
f . c OS
1
f
1
c
OS
1
c OS
2R
3
f . c OC
f . c OC
1
f
1
c OW
1
c OC
W
S = F
O
C
J
F
Équation d’un rayon lumineux
dans un système de lentilles
1 • La relation de conjugaison pour la lentille considérée
s’écrit :
–
=
= C.
Or a =
et a =
, d’où a – a = Cy.
2 • a) Sur un intervalle a, a varie : a = a – a = – Cy.
On assimile la dérivée
à
= –
.
a ≈ tan a est aussi la pente de y(x):a=
d
d
y
x
,
donc
+ Cy = 0.
b) En x = 0, y = 0 et a =
= a 0 ,
alors : y = 2 a 0 sin 2 x .
Le rayon lumineux a une trajectoire sinusoïdale de période
x 0 = 2π 2 .
Sur le document ci-dessus (tracé avec f = 5a), la période x 0 est
bien égale à 2π 15 a ≈ 14a.
Remarque :Cet exercice correspond à une modélisation des
fibres optiques. Il est ainsi possible de retrouver les résultats
relatifs aux fibres optiques à gradient d’indice.
x 0 = 14 a
a
C
C
a
a
C
dy
dx
d
2
y
dx 2
Cy
a
a
a
da
dx
x
x'
'
N
AM
A'
y
c AM
y
c AM
1
f
1
c MA
1
c MA
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CORRIGÉS
Miroirs et lentilles
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La photocopie non autorisée est un délit.