La lentille équivalente a une distance focale de 6 m et son
centre optique est tel que
—
OS 1 = 6 m .
On peut remarquer que : O = C 1 = C 2 , de sorte que O est bien
son propre conjugué.
De plus, les conjugaisons des miroirs peuvent s’écrire :
+
=
+
=
ce qui donne la conjugaison d’une lentille :
–
=
–
=
1
c
Oc F
2
c
Oc S 1
2
c
Oc S 2
1
c
Oc A
1
c
Oc A
2
c
Oc S 2
1
c
Oc A
1
c
Oc A 1
2
c
Oc S 1
1
c
Oc A 1
1
c
Oc A
d) Ce système présente les avantages suivants par rapport à
une lentille mince :
• compacité : si on place une plaque photographique dans le
plan focal du système, celui-ci occupe 2 m pour les miroirs et
6 m pour la lentille ;
• achromatisme : un miroir est toujours achromatique alors
qu’une lentille doit être corrigée ;
• luminosité : il y a toujours des pertes par réflexion et transmission dans une lentille.
Il présente comme seul inconvénient un problème de champ
d’utilisation. Celui-ci est limité par la taille du trou au niveau
de S 1 et par la taille du miroir M 2 .
Mise au point
1 • a) Soit
L’image
—
A′B′ doit être réelle. Une lentille divergente ne donne
d’image réelle que si l’objet est entre O et F (foyer-objet), l’image est alors après l’objet. Les points O 2 , A 1 , A′ sont donc
dans cet ordre sur l’axe.
Si A est à l’infini, A 1 est en F ′
1 . La distance D doit donc
être supérieure à f ′
1 , soit D – f ′
1 0 .
b) La relation de Descartes pour L 2 donne :
avec
—
O 2 O = d ∞ ,
—
O 2 F ′
1 = f ′
1 – D + d ∞ ,
d’où :
d ∞
2 + (f ′
1 – D)d ∞ – f ′
2 (f ′
1 – D) = 0 .
Le discriminant de cette équation du second degré est :
∆ = (f ′
1 – D) 2 + 4 f ′
2 (f ′
1 – D) = (D – f ′
1 ) (D – f ′
1 – 4 f ′
2 )
∆ > 0 , car D > f ′
1 et f ′
2 < 0 .
Il y a donc deux solutions dont une est positive. C’est la seule
acceptable.
c) d ∞ = 3 cm. L’image c A 1 B 1 est dans le plan focal image de
L 1 .
dD fD fDff
∞ =
′ +
′
(
)
′′
(
)
[
]
1
2
4
11
12
––
––
.
11
1
221
2
OO OF
f
–
′
= ′
AB
AB
AB
L
L
1
2
11
→ →
′′
13
Un rayon passant par O 2 et B 1 n’est pas dévié donc O 2 ,
B 1 et B′ sont alignés.
d) D’après le schéma,
—
A 1 B 1 =
—
F 1 B 1 = – a f ′
1 et
—
AB = +
,
d’où :
.
2 • a) L’objet
—
AB est à distance finie de L 1 . Son image
w A 1 B 1 est après F ′
1 (on suppose que l’objet est avant le foyer
objet de L 1 ).
Pour une lentille divergente et un objet virtuel, l’image, si elle
est réelle (objet entre O et F), est située entre O (objet en
O) et l’infini (objet en F).
′′ =
′
′ +
∞
∞
AB
df
fd D
–
–
α
1
1
′
OO
OF
AB
2
21
11
x
x ’
B ∞
O 1
B 1
B ’
O 2
O
écran
L 1
L 2
d x
D
α
α
( > 0)
F’ 1
CORRIGÉS
Miroirs et lentilles
3
159
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
F
F 2
F 1
O
M 2
S 1 = F
M 1
centre optique est tel que
—
OS 1 = 6 m .
On peut remarquer que : O = C 1 = C 2 , de sorte que O est bien
son propre conjugué.
De plus, les conjugaisons des miroirs peuvent s’écrire :
+
=
+
=
ce qui donne la conjugaison d’une lentille :
–
=
–
=
1
c
Oc F
2
c
Oc S 1
2
c
Oc S 2
1
c
Oc A
1
c
Oc A
2
c
Oc S 2
1
c
Oc A
1
c
Oc A 1
2
c
Oc S 1
1
c
Oc A 1
1
c
Oc A
d) Ce système présente les avantages suivants par rapport à
une lentille mince :
• compacité : si on place une plaque photographique dans le
plan focal du système, celui-ci occupe 2 m pour les miroirs et
6 m pour la lentille ;
• achromatisme : un miroir est toujours achromatique alors
qu’une lentille doit être corrigée ;
• luminosité : il y a toujours des pertes par réflexion et transmission dans une lentille.
Il présente comme seul inconvénient un problème de champ
d’utilisation. Celui-ci est limité par la taille du trou au niveau
de S 1 et par la taille du miroir M 2 .
Mise au point
1 • a) Soit
L’image
—
A′B′ doit être réelle. Une lentille divergente ne donne
d’image réelle que si l’objet est entre O et F (foyer-objet), l’image est alors après l’objet. Les points O 2 , A 1 , A′ sont donc
dans cet ordre sur l’axe.
Si A est à l’infini, A 1 est en F ′
1 . La distance D doit donc
être supérieure à f ′
1 , soit D – f ′
1 0 .
b) La relation de Descartes pour L 2 donne :
avec
—
O 2 O = d ∞ ,
—
O 2 F ′
1 = f ′
1 – D + d ∞ ,
d’où :
d ∞
2 + (f ′
1 – D)d ∞ – f ′
2 (f ′
1 – D) = 0 .
Le discriminant de cette équation du second degré est :
∆ = (f ′
1 – D) 2 + 4 f ′
2 (f ′
1 – D) = (D – f ′
1 ) (D – f ′
1 – 4 f ′
2 )
∆ > 0 , car D > f ′
1 et f ′
2 < 0 .
Il y a donc deux solutions dont une est positive. C’est la seule
acceptable.
c) d ∞ = 3 cm. L’image c A 1 B 1 est dans le plan focal image de
L 1 .
dD fD fDff
∞ =
′ +
′
(
)
′′
(
)
[
]
1
2
4
11
12
––
––
.
11
1
221
2
OO OF
f
–
′
= ′
AB
AB
AB
L
L
1
2
11
→ →
′′
13
Un rayon passant par O 2 et B 1 n’est pas dévié donc O 2 ,
B 1 et B′ sont alignés.
d) D’après le schéma,
—
A 1 B 1 =
—
F 1 B 1 = – a f ′
1 et
—
AB = +
,
d’où :
.
2 • a) L’objet
—
AB est à distance finie de L 1 . Son image
w A 1 B 1 est après F ′
1 (on suppose que l’objet est avant le foyer
objet de L 1 ).
Pour une lentille divergente et un objet virtuel, l’image, si elle
est réelle (objet entre O et F), est située entre O (objet en
O) et l’infini (objet en F).
′′ =
′
′ +
∞
∞
AB
df
fd D
–
–
α
1
1
′
OO
OF
AB
2
21
11
x
x ’
B ∞
O 1
B 1
B ’
O 2
O
écran
L 1
L 2
d x
D
α
α
( > 0)
F’ 1
CORRIGÉS
Miroirs et lentilles
3
159
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
F
F 2
F 1
O
M 2
S 1 = F
M 1