A 1 est une image réelle, déterminée par l’intersection de
rayons réels.
• Pour l’image finale A′ :
ou encore
—
O 2 A′ = – 1,2 a .
3 • A′ est une image virtuelle. Les rayons émergents forment
un faisceau divergent et leurs prolongements se coupent
en A′ .
Lentille demi-boule
à face argentée
Il est clair qu’un rayon arrivant au centre de la lentille demiboule revient sur lui-même : le centre W du miroir équivalent coïncide avec ce centre C.
La construction du sommet S utilise un rayon qui va se réfléchir en S :
S
C
h
a
b
S
S
Ω = C
11
F 1
O 1
O 2
F’ 1
F’ 2
A 1
A’
A
F 2
L 1
L 2
a
a
′′ ==
FA
a
a
a
2
2
9
5
18
– –
,
Dans les conditions de Gauss : a = nb
avec h = a . c
Cc S = b . c
Cc S, donc c
Cc W = .
Les points W et S sont le centre et le sommet du miroir
équivalent, de rayon , concave.
Association de miroirs
1 • a) Le foyer objet a son image à l’infini, soit
—
SA′ = ∞ ,
d’où
—
SF ′ =
—
SC/2 .
Les deux foyers sont confondus et sont au milieu du segment
[SC] .
b) et c)
2 • a) Un rayon parallèle à l’axe optique sort après réflexion
sur M 1 en passant par F 1 . Après réflexion sur M 2 , pour qu’il
passe par S 1 , il faut que l’image de F 1 par M 2 soit S 1 :
Ceci donne
,
avec
—
S 2 S 1 = d ,
—
S 1 F 1 = – 3 m ,
—
S 2 F 2 = – 2 m ;
d’où
ou d 2 + d – 6 = 0 qui a pour solution d = 2 m ou d = – 3 m . Seule la solution d =2m est
acceptable, car M 2 est avant M 1 .
b) D’après a), un rayon parallèle à l’axe ressort en passant par
S 1 , donc S 1 est le foyer image F ′ du système optique.
Un rayon passant par le foyer objet ressort parallèlement à
l’axe. Donc son image par M 1 est le foyer F 2 de M 2 :
En utilisant la formule de conjugaison pour M 1 :
—
S 1 F 2 = – 4 m et
—
S 1 F 1 = – 3 m,
d’où
—
S 1 F = – 12 m .
Cf. schéma page suivante.
c) Si le système est équivalent à une lentille mince, un rayon
parallèle à l’axe recoupe l’émergent au niveau de la lentille.
De même un rayon émergent parallèlement à l’axe, coupe
l’incident au niveau du plan de la lentille. Ce plan est le plan
médiateur du segment FF ′ . On vérifie ce résultat graphiquement.
111
11 21 1
SF SF SF
+=:
FF
A
MM 1
2
2
→ →
′
∞ .
11
3
1
2
dd
+=
–
–
11
21
21
21
22
22
SS SF SC
SF
+=
=
AF
S
MM
∞ → →
1
2
11 .
C
S
S
F
F
C
Miroir concave
convergent
Miroir convexe
divergent
12
R
n
R
n
CORRIGÉS
Miroirs et lentilles
3
158
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
rayons réels.
• Pour l’image finale A′ :
ou encore
—
O 2 A′ = – 1,2 a .
3 • A′ est une image virtuelle. Les rayons émergents forment
un faisceau divergent et leurs prolongements se coupent
en A′ .
Lentille demi-boule
à face argentée
Il est clair qu’un rayon arrivant au centre de la lentille demiboule revient sur lui-même : le centre W du miroir équivalent coïncide avec ce centre C.
La construction du sommet S utilise un rayon qui va se réfléchir en S :
S
C
h
a
b
S
S
Ω = C
11
F 1
O 1
O 2
F’ 1
F’ 2
A 1
A’
A
F 2
L 1
L 2
a
a
′′ ==
FA
a
a
a
2
2
9
5
18
– –
,
Dans les conditions de Gauss : a = nb
avec h = a . c
Cc S = b . c
Cc S, donc c
Cc W = .
Les points W et S sont le centre et le sommet du miroir
équivalent, de rayon , concave.
Association de miroirs
1 • a) Le foyer objet a son image à l’infini, soit
—
SA′ = ∞ ,
d’où
—
SF ′ =
—
SC/2 .
Les deux foyers sont confondus et sont au milieu du segment
[SC] .
b) et c)
2 • a) Un rayon parallèle à l’axe optique sort après réflexion
sur M 1 en passant par F 1 . Après réflexion sur M 2 , pour qu’il
passe par S 1 , il faut que l’image de F 1 par M 2 soit S 1 :
Ceci donne
,
avec
—
S 2 S 1 = d ,
—
S 1 F 1 = – 3 m ,
—
S 2 F 2 = – 2 m ;
d’où
ou d 2 + d – 6 = 0 qui a pour solution d = 2 m ou d = – 3 m . Seule la solution d =2m est
acceptable, car M 2 est avant M 1 .
b) D’après a), un rayon parallèle à l’axe ressort en passant par
S 1 , donc S 1 est le foyer image F ′ du système optique.
Un rayon passant par le foyer objet ressort parallèlement à
l’axe. Donc son image par M 1 est le foyer F 2 de M 2 :
En utilisant la formule de conjugaison pour M 1 :
—
S 1 F 2 = – 4 m et
—
S 1 F 1 = – 3 m,
d’où
—
S 1 F = – 12 m .
Cf. schéma page suivante.
c) Si le système est équivalent à une lentille mince, un rayon
parallèle à l’axe recoupe l’émergent au niveau de la lentille.
De même un rayon émergent parallèlement à l’axe, coupe
l’incident au niveau du plan de la lentille. Ce plan est le plan
médiateur du segment FF ′ . On vérifie ce résultat graphiquement.
111
11 21 1
SF SF SF
+=:
FF
A
MM 1
2
2
→ →
′
∞ .
11
3
1
2
dd
+=
–
–
11
21
21
21
22
22
SS SF SC
SF
+=
=
AF
S
MM
∞ → →
1
2
11 .
C
S
S
F
F
C
Miroir concave
convergent
Miroir convexe
divergent
12
R
n
R
n
CORRIGÉS
Miroirs et lentilles
3
158
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.