©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Ascension d’un ballon sonde
Un ballon sonde aune vitesse d’ascension verticale v 0 indépendante de son altitude.Levent lui communique une vitesse
horizontale v x =
proportionnelle àl’altitude z atteinte.
1 • Déterminer les lois du mouvement x(t)etz(t)ainsi que
l’équation de la trajectoire x(z).
2 • Calculer le vecteur accélération du ballon.
Trajectoiree thodographe
d’un mouvementplan
Un point M se déplace dans le plan (xOy)àlavitesse :
➞
v = v 0 (e
➞
x +e
➞
q ), où e
➞
q est le vecteur orthoradialdelabase
locale des coordonnées polaires (r,q ).
1 • Établir les équations polaire et cartésienne de la trajectoire àcaractériser.
2 • Faire de même pour l’hodographe.
3 • Faire le lien entre l’angle q =( j e
➞
x ,
➞
r)e tl ’angle
j =(j e
➞
x ,
➞
v).
Allere tr etour sur un fleuve
Un rameur s’entraînesur un fleuve en effectuant le parcours
aller et retour entre deux points A et B ,distants de .Il
rame àvitesse constante v par rapport au courant. Le fleuve
coulede A vers B àl av itesse u .Son entraîneur l’accompagne àpied le long de la rive en marchant àlavitesse
v sur le sol, il fait lui aussi l’aller et retour entre A et B .
z
t c
5
4
3
Une course automobile
Deux pilotes amateurs prennent le départ d’une course
automobile sur un circuit présentant une longue ligne droite au départ. Ils s’élancent de la même ligne. Le premier, A,
démarre avec une accélération constante de 4m . s –2 ,l e
deuxième, B, au ne voiture légèrement plus puissante et
démarre avec une accélération constante de 5m.s –2 . A a
cependant plus de réflexes que B et démarre une seconde
avant.
1 • Quelle durée faudra-t-il à B pour rattraper A ?
2 • Quelle distance auront-ils parcourue quand B doublera A ?
3 • Quelle seront les vitesses àcet instant-là ?
4 • Représenter x(t)etv(t)etlatrajectoire de phase de A
et B,e np récisant la position de l’événement « B dépasse
A »sur ces représentations des mouvements.
Mouvementd’unpointmatériel
sur une parabole
Un point matériel M décrit la courbe d’équation polaire
où a est une constante positive, q
variant
de – π à+π.
1 • Montrer que la trajectoire de M est une parabole. La
construire.
2 • On suppose de plus que le module du vecteur vitesse
est toujours proportionnel à r : v =kr,où k est une constante positive.
a. Calculer,enfonction de q ,les composantes radiale et
orthoradiale du vecteur vitesse de M .
b. Déterminer la loi du mouvement q(t)e ns upposant
que q est nul àl’instant t =0 et que q croît.
On donne
q
0
dq
q
q
cos
ln tan.
=+
24
π
ra cos
2
2
q
=
2
1
12
Exercices
Conseils
Déterminer l’équation horaire du mouvement de
chaque voiture.
Conseils
Il suffit de passer du système de coordonnées cartésiennes (x, y)a us ystème de coordonnées polaires
(r,q ), et inversement, pour obtenir l’une ou l’autre des
équations recherchées.
Conseils
1) Penser àr emplacer cos 2
q
2
par
1
2
(1 +c os q)e t
àutiliser les relations entre (x , y)et(r,q)pour donner l’équation de la trajectoireencoordonnées cartésiennes.
2) La condition v =k r permet d’exprimer
·
q en
fonction de q ,donc de ne plus faire apparaîtreexplicitement le temps dans les équations, mais seulement q .
La photocopie non autorisée est un délit.
Ascension d’un ballon sonde
Un ballon sonde aune vitesse d’ascension verticale v 0 indépendante de son altitude.Levent lui communique une vitesse
horizontale v x =
proportionnelle àl’altitude z atteinte.
1 • Déterminer les lois du mouvement x(t)etz(t)ainsi que
l’équation de la trajectoire x(z).
2 • Calculer le vecteur accélération du ballon.
Trajectoiree thodographe
d’un mouvementplan
Un point M se déplace dans le plan (xOy)àlavitesse :
➞
v = v 0 (e
➞
x +e
➞
q ), où e
➞
q est le vecteur orthoradialdelabase
locale des coordonnées polaires (r,q ).
1 • Établir les équations polaire et cartésienne de la trajectoire àcaractériser.
2 • Faire de même pour l’hodographe.
3 • Faire le lien entre l’angle q =( j e
➞
x ,
➞
r)e tl ’angle
j =(j e
➞
x ,
➞
v).
Allere tr etour sur un fleuve
Un rameur s’entraînesur un fleuve en effectuant le parcours
aller et retour entre deux points A et B ,distants de .Il
rame àvitesse constante v par rapport au courant. Le fleuve
coulede A vers B àl av itesse u .Son entraîneur l’accompagne àpied le long de la rive en marchant àlavitesse
v sur le sol, il fait lui aussi l’aller et retour entre A et B .
z
t c
5
4
3
Une course automobile
Deux pilotes amateurs prennent le départ d’une course
automobile sur un circuit présentant une longue ligne droite au départ. Ils s’élancent de la même ligne. Le premier, A,
démarre avec une accélération constante de 4m . s –2 ,l e
deuxième, B, au ne voiture légèrement plus puissante et
démarre avec une accélération constante de 5m.s –2 . A a
cependant plus de réflexes que B et démarre une seconde
avant.
1 • Quelle durée faudra-t-il à B pour rattraper A ?
2 • Quelle distance auront-ils parcourue quand B doublera A ?
3 • Quelle seront les vitesses àcet instant-là ?
4 • Représenter x(t)etv(t)etlatrajectoire de phase de A
et B,e np récisant la position de l’événement « B dépasse
A »sur ces représentations des mouvements.
Mouvementd’unpointmatériel
sur une parabole
Un point matériel M décrit la courbe d’équation polaire
où a est une constante positive, q
variant
de – π à+π.
1 • Montrer que la trajectoire de M est une parabole. La
construire.
2 • On suppose de plus que le module du vecteur vitesse
est toujours proportionnel à r : v =kr,où k est une constante positive.
a. Calculer,enfonction de q ,les composantes radiale et
orthoradiale du vecteur vitesse de M .
b. Déterminer la loi du mouvement q(t)e ns upposant
que q est nul àl’instant t =0 et que q croît.
On donne
q
0
dq
q
q
cos
ln tan.
=+
24
π
ra cos
2
2
q
=
2
1
12
Exercices
Conseils
Déterminer l’équation horaire du mouvement de
chaque voiture.
Conseils
Il suffit de passer du système de coordonnées cartésiennes (x, y)a us ystème de coordonnées polaires
(r,q ), et inversement, pour obtenir l’une ou l’autre des
équations recherchées.
Conseils
1) Penser àr emplacer cos 2
q
2
par
1
2
(1 +c os q)e t
àutiliser les relations entre (x , y)et(r,q)pour donner l’équation de la trajectoireencoordonnées cartésiennes.
2) La condition v =k r permet d’exprimer
·
q en
fonction de q ,donc de ne plus faire apparaîtreexplicitement le temps dans les équations, mais seulement q .