2 • Si on ne néglige plus m devant M , le mobile réduit n’est
plus confondu avec P . Le mouvement du mobile réduit obéit
à l’équation :
soit, en projection sur e
➞
r :
ou encore
On en déduit
En suivant la même démarche qu’à la question précédente, on obtient :
Au premier ordre en
cette équation devient :
d’où :
= 2,97 . 10 –6 .
L’écart relatif entre les deux valeurs est :
= 1,22 %.
Points de Lagrange
1 • On considère le système Terre–Lune comme un système
isolé, la distance Terre–Lune restant constante. La Terre et la
Lune décrivent des cercles autour de leur centre de masse, de
rayons respectifs :
et
Le point matériel M sera immobile par rapport au système
Terre–Lune s’il est immobile dans le référentiel tournant avec
ce système (par rapport au référentiel héliocentrique, par
exemple). Il faut donc déterminer la vitesse angulaire de rotation w 0 du système Terre–Lune autour de son centre de
masse. Pour cela, on applique la relation fondamentale de la
dynamique à la Terre et à la Lune séparément (dans le référentiel héliocentrique), chacune n’étant soumise qu’à l’attraction gravitationnelle de l’autre :
et
On additionne ces deux équations après les avoir simplifiées
respectivement par m T et par m L , on obtient l’expression de
w 0 :
ω 0
3
=
+
Gm m
D
() .
TL
mr
Gm m
D
LL
LT
ω 0
2
2
=
.
mr
Gm m
D
TT
LT
ω 0
2
2
=
r
m
mm
D
L
T
TL
=
+
.
r
m
mm
D
T
L
TL
=
+
8
M
MM
L
LT +
M
M
M
M
T
T
D
D
T
S
L
T
=
+
1
1
1
2
2
2
1
3
M
M
M
M
T
T
D
D
T
S
L
T
1
1
2
2
2
1
3
+
=
,
M
M
T
S
MM
MM
T
T
D
D
TL
ST
+
+
=
1
2
2
2
1
3
.
T
rG Mm
2
3
2
4
=
+
π
()
.
v =
+
GM m
r
() .
µ
v
2
2
r
G
Mm
r
=
,
µ
d
d
v
➞
➞
t
G
Mm
r
e r
=−
2
,
Remarque : Cette expression nous est fournie directement par
la troisième loi de Kepler en remarquant que
Dans le référentiel tournant, le point M est soumis aux forces d’attraction gravitationnelle de la Terre et de la Lune et
aux forces d’inertie. Quand il est en équilibre, la relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
0
➞ = – Gmm T
– Gmm L
+ mw
2
0
— ➞
GM ,
G étant le centre de masse du système Terre–Lune. En remplaçant w 0 par son expression, cette équation devient :
m T
+ m L
= (m T + m L )
.
Si les points T , L et M forment un triangle équilatéral,
TM = LM = D , les dénominateurs se simplifient et il reste
m T TM
— ➞ + m L LM
— ➞ = (m T + m L )GM
— ➞ , ce qui est la définition de
G : le point M est alors immobile par rapport au système
Terre–Lune. On définit ainsi deux points L 1 et L 2 .
Autre méthode
On peut aussi raisonner avec l’énergie potentielle. Dans le
référentiel tournant, l’énergie potentielle du point M est :
avec
Pour étudier l’énergie potentielle, il vaut mieux l’exprimer en
fonction de TM et LM uniquement.
GM
— ➞ .GM
— ➞
((m T TM
— ➞
.(GT
— ➞ + TM
— ➞
) + m L LM
— ➞
.(GL
— ➞ + LM
— ➞
))
(car m T GT
— ➞ + m L GL
— ➞ =
➞
0)
(m T TM 2 + m L LM 2 + m T TM
— ➞
. GT
— ➞ + m L LM
— ➞
. GL
— ➞
) .
(m T TM 2 + m L LM 2 + m T GT
— ➞
. TL
— ➞
).
(car à nouveau m L GL
— ➞ = – m T GT
— ➞ )
=−
1
2
3
m
G
D
=−
1
2
3
m
G
D
=−
1
2
3
m
G
D
P
T
L
ie
=−
+
1
2
3
m
G
D
mm
()
P ie =−
1
2
0
22
mG M
ω
.
P
TL
P ie
=−
+
+
Gm
m
TM
m
LM
L 1
L 2
T
L
— ➞
GM
D 3
— ➞
LM
LM 3
— ➞
TM
TM 3
— ➞
LM
LM 3
— ➞
TM
TM 3
T =
2π
0
ω
.
CORRIGÉS
Système de deux points matériels
9
121
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
plus confondu avec P . Le mouvement du mobile réduit obéit
à l’équation :
soit, en projection sur e
➞
r :
ou encore
On en déduit
En suivant la même démarche qu’à la question précédente, on obtient :
Au premier ordre en
cette équation devient :
d’où :
= 2,97 . 10 –6 .
L’écart relatif entre les deux valeurs est :
= 1,22 %.
Points de Lagrange
1 • On considère le système Terre–Lune comme un système
isolé, la distance Terre–Lune restant constante. La Terre et la
Lune décrivent des cercles autour de leur centre de masse, de
rayons respectifs :
et
Le point matériel M sera immobile par rapport au système
Terre–Lune s’il est immobile dans le référentiel tournant avec
ce système (par rapport au référentiel héliocentrique, par
exemple). Il faut donc déterminer la vitesse angulaire de rotation w 0 du système Terre–Lune autour de son centre de
masse. Pour cela, on applique la relation fondamentale de la
dynamique à la Terre et à la Lune séparément (dans le référentiel héliocentrique), chacune n’étant soumise qu’à l’attraction gravitationnelle de l’autre :
et
On additionne ces deux équations après les avoir simplifiées
respectivement par m T et par m L , on obtient l’expression de
w 0 :
ω 0
3
=
+
Gm m
D
() .
TL
mr
Gm m
D
LL
LT
ω 0
2
2
=
.
mr
Gm m
D
TT
LT
ω 0
2
2
=
r
m
mm
D
L
T
TL
=
+
.
r
m
mm
D
T
L
TL
=
+
8
M
MM
L
LT +
M
M
M
M
T
T
D
D
T
S
L
T
=
+
1
1
1
2
2
2
1
3
M
M
M
M
T
T
D
D
T
S
L
T
1
1
2
2
2
1
3
+
=
,
M
M
T
S
MM
MM
T
T
D
D
TL
ST
+
+
=
1
2
2
2
1
3
.
T
rG Mm
2
3
2
4
=
+
π
()
.
v =
+
GM m
r
() .
µ
v
2
2
r
G
Mm
r
=
,
µ
d
d
v
➞
➞
t
G
Mm
r
e r
=−
2
,
Remarque : Cette expression nous est fournie directement par
la troisième loi de Kepler en remarquant que
Dans le référentiel tournant, le point M est soumis aux forces d’attraction gravitationnelle de la Terre et de la Lune et
aux forces d’inertie. Quand il est en équilibre, la relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
0
➞ = – Gmm T
– Gmm L
+ mw
2
0
— ➞
GM ,
G étant le centre de masse du système Terre–Lune. En remplaçant w 0 par son expression, cette équation devient :
m T
+ m L
= (m T + m L )
.
Si les points T , L et M forment un triangle équilatéral,
TM = LM = D , les dénominateurs se simplifient et il reste
m T TM
— ➞ + m L LM
— ➞ = (m T + m L )GM
— ➞ , ce qui est la définition de
G : le point M est alors immobile par rapport au système
Terre–Lune. On définit ainsi deux points L 1 et L 2 .
Autre méthode
On peut aussi raisonner avec l’énergie potentielle. Dans le
référentiel tournant, l’énergie potentielle du point M est :
avec
Pour étudier l’énergie potentielle, il vaut mieux l’exprimer en
fonction de TM et LM uniquement.
GM
— ➞ .GM
— ➞
((m T TM
— ➞
.(GT
— ➞ + TM
— ➞
) + m L LM
— ➞
.(GL
— ➞ + LM
— ➞
))
(car m T GT
— ➞ + m L GL
— ➞ =
➞
0)
(m T TM 2 + m L LM 2 + m T TM
— ➞
. GT
— ➞ + m L LM
— ➞
. GL
— ➞
) .
(m T TM 2 + m L LM 2 + m T GT
— ➞
. TL
— ➞
).
(car à nouveau m L GL
— ➞ = – m T GT
— ➞ )
=−
1
2
3
m
G
D
=−
1
2
3
m
G
D
=−
1
2
3
m
G
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P
T
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=−
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1
2
3
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1
2
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22
mG M
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P
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=−
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TM
m
LM
L 1
L 2
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— ➞
GM
D 3
— ➞
LM
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— ➞
TM
TM 3
— ➞
LM
LM 3
— ➞
TM
TM 3
T =
2π
0
ω
.
CORRIGÉS
Système de deux points matériels
9
121
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La photocopie non autorisée est un délit.