2 • La formule de composition des vitesses (vitesse v
➞
P dans
le référentiel fixe et vitesse v
➞
P
* dans le référentiel barycentrique) pour le proton donne v
➞
P = v
➞
P
* + v
➞
G . On sait par
ailleurs que la quantité de mouvement du proton dans le référentiel barycentrique est p
➞
P
* = – m ·
xe
➞
x , elle est donc nulle
quand le proton est le plus proche du noyau, il en est alors de
même pour v
➞
P
* .
Le système étant isolé, la vitesse de son centre de masse
reste constante, et égale à sa valeur initiale, c’est-à-dire :
Quand le proton est le plus proche du noyau, sa vitesse est
donc :
Remarque
À ce moment-là, la vitesse du noyau est égale à celle du
proton, car v P – v N = ·
x = 0 . On aurait pu utiliser cet argument pour calculer v
➞
P .
Mouvements de blocs reliés
par un ressort
1 • Lorsque A aura décollé du mur, le centre d’inertie G du
système glissera à vitesse constante, et les masses oscilleront
autour de ce centre d’inertie.
Tant que A n’a pas décollé, les équations du mouvement sont :
m ¨
x A = k∆(t) + R avec ¨
x A = 0
m ¨
x B = – k∆(t)
Soit : (¨ x A = 0) :
∆(t) = – ∆ 0 + x B – x B 0 = – ,
ce qui donne pour B :
m ¨
x B = – k(x B – x B 0 – ∆ 0 ).
À vitesse initiale nulle, on a donc :
x B = x B 0
+ ∆ 0 (1 – coswt) = v – ∆ 0 coswt
avec w =
1
.
La réaction du mur est enfin :
R = – k∆(t) = k∆ 0 coswt.
Elle s’annule (et A décolle du mur) à l’instant :
t 1 = =
=
1
.
2 • Le mouvement de G est rectiligne et uniforme pour
t t 1 , avec :
v
➞
G = v
➞
G (t 1 ) =
= v G e
➞
x
soit :
v G =
sinwt 1 =
.
w∆ 0
2
w∆ 0
2
m0
➞ + m v
➞
B (t 1 )
2m
m
k
π
2
π
2w
T
4
k
m
R
k
6
vv P
➞
➞
= +
m
mM
0 .
m
mM +
v 0
➞ .
3 • À t t 1 , R est nulle, et la soustraction des équations des
mouvements de A et B donne l’évolution de la position
relative x B – x A :
m( ¨
x B – ¨
x A ) = – 2k∆(t) = – 2k(x B – x A – v )
soit, avec W = 12 w :
x B – x A = v + (x B (t 1 ) – v ) cosW (t – t 1 ) +
sinW (t – t 1 )
= v + ∆ 0
sinW (t – t 1 ).
Au mouvement d’ensemble à vitesse v
➞
G uniforme se superpose un mouvement relatif d’oscillations à pulsation W , de
période T : 2π
1
.
4 • La position de A est :
x A (t) =
+
= x G + (x A – x B )
= +
(t – t 1 ) – [ v + ∆ 0 sinW (t – t 1 )]
=
[W (t – t 1 ) – sinW (t – t 1 )]
reste positif à t t 1 : le point A ne revient pas heurter le mur.
Détermination du rapport des
masses de la Terre et du Soleil
à l’aide de la troisième loi de
Kepler
1 • L’astre, très massif, est considéré comme immobile au
centre O de champ de force centrale gravitationnelle :
F
➞ = – Ge
➞
r dans lequel évolue le satellite de masse m .
Pour le mouvement circulaire (uniforme), on a :
soit
c’est-à-dire:
On en déduit
Pour la Terre (autour du Soleil) :
pour la Lune (autour de la Terre) :
=
.
Le rapport de ces deux expressions est :
= 3,01 . 10 –6 .
M
M
T
T
D
D
T
S
=












1
2
2
2
1
3
4π
2
GM T
T
2
2
D
3
2
T
DG M
1
2
1
3
2
4
=
π
S
;
T
rG M
2
3
2
4
=
π .
T
r
GM
r
== 2
2
3
2
π
π
v
.
v =
GM
r
,
m r
G
Mm
r
v
2
2
=
,
mM
r 2
7
∆ 0
2
w
W
w
W
1
2
v B (t 1 )
2
x B (t 1 )
2
1
2
x A – x B
2
x A + x B
2
m
2k
w
W
v B (t 1 )
W
CORRIGÉS
Système de deux points matériels
9
120
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.