2 • Le raisonnement est le même, seule change l’expression
de la quantité de mouvement de la personne qui saute. Si elles
sautent toutes en même temps, la conservation de la composante horizontale de la quantité de mouvement s’écrit
0
➞ = Mv
➞
f + Nmv
➞ (la plate-forme est initialement immobile),
d’où :
Si elles sautent les unes après les autres :
•premier saut : 0
➞ = (M + (N – 1)m)v
➞
1 + mv
➞ ;
•deuxième saut :
(M + (N – 1)m)v
➞
1 = (M + (N – 2)m)v
➞
2 + m(v
➞ + v
➞
1 ) ;
• k e saut :
(M + (N – (k – 1)m)v
➞
k–1 = (M + (N – k)m)v
➞
k + m(v
➞ + v
➞
k–1 );
•dernier saut : (M + m)v
➞
N–1 = Mv
➞
N + m(v
➞ + v
➞
N–1 ) .
On en déduit l’expression de la vitesse finale de la plate-forme :
Dans ce cas, chaque terme de la somme est inférieur à
la vitesse finale de la plate-forme est plus grande quand les N
personnes sautent en même temps.
Patinage
1 • Il n’y a pas de frottements, donc toutes les forces extérieures appliquées au système des deux patineurs sont verticales, le mouvement a lieu dans un plan horizontal : la vitesse du centre de masse G est constante et vaut simplement :
v
➞
G =
.
Sur le schéma, G se déplace à vitesse constante le long de la
droite d’équation x G = d 1 =
d 0 .
m 2
m 1 + m 2
m 1 v
➞
1 + m 2 v
➞
2
m 1 + m 2
x
y
à t = 0à t
A 2
A 1
G
GD
d 0
A 1 0
A 2 0
d 2
d 1
z
u 2
u 1
e r
4
m
M
v ,
v
v
v
N
x
k
N
m
MN km
e
➞
➞
➞
=
+−
=
=
∑ (( ))
.
f
1
vv
v
f
➞➞
➞
=−
=
Nm
M
Nm
M
e x .
Une fois accrochés, les deux patineurs restent à distance d 0
l’un de l’autre. La conservation du moment cinétique barycentrique :
L
➞
* = A 1 A 2
— ➞ ∧ m(V
➞
A 2
– V
➞
A 1
) = md 2 (t) w e
➞
z
où m =
est la masse du mobile fictif nous indique
que la vitesse de rotation w de l’axe A 1 A 2 est conservée. On
peut la calculer à l’instant où les patineurs s’accrochent :
w = w 0 =
.
Remarque
Cette valeur permet de vérifier la conservation de l’énergie,
donc ici de l’énergie cinétique (d = A 1 A 2 restant constante).
2 • Le système étant maintenant déformable, les forces intérieures travaillent. Le moment résultant des forces extérieures
en G est toujours nul, et le moment cinétique barycentrique
reste constant :
L
➞
* = md 2 (t)w(t)e
➞
z .
Donc :
d(t) 2 w(t) = d 0
2 w 0 = d 0 (v 2 – v 1 ),
soit
w(t) augmente quand d(t) diminue.
Le travail effectué par les deux patineurs est le travail des forces intérieures t int , d’après le théorème de l’énergie cinétique :
t int = ∆ K = ∆ K
* = md 2 (t)w 2 (t) – md 0
2 w 0
2
En éliminant w(t) , on obtient :
t int =
(v 2 – v 1 )
2
2
– 1 .
Interaction noyau-proton.
Distance minimale d’approche
1 • L’énergie mécanique du système {proton + noyau}
dans le référentiel barycentrique s’écrit : M = m ·
x 2 +
,
où m est la masse réduite du système, égale àe t
x = c
Pc N .
À l’instant initial,
On en déduit
m ·
x 2 +
= mv
2
0 .
La distance minimale entre les deux particules est donc :
(quand x est minimale, ·
x = 0).
x
Ze
min =
2
00
2
2 π εµ v
1
2
Ze 2
4πe 0 x
1
2
=
1
2
0
2
µv .
mM
mM +
Ze 2
4πe 0 x
1
2
5
d 0
d(t)
m 1 m 2
m 1 + m 2
1
2
1
2
1
2
w()
()
()
.
t
d
dt
=
−
02
1
2
vv
v 2 – v 1
d 0
m 1 m 2
m 1 + m 2
CORRIGÉS
Système de deux points matériels
9
119
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
de la quantité de mouvement de la personne qui saute. Si elles
sautent toutes en même temps, la conservation de la composante horizontale de la quantité de mouvement s’écrit
0
➞ = Mv
➞
f + Nmv
➞ (la plate-forme est initialement immobile),
d’où :
Si elles sautent les unes après les autres :
•premier saut : 0
➞ = (M + (N – 1)m)v
➞
1 + mv
➞ ;
•deuxième saut :
(M + (N – 1)m)v
➞
1 = (M + (N – 2)m)v
➞
2 + m(v
➞ + v
➞
1 ) ;
• k e saut :
(M + (N – (k – 1)m)v
➞
k–1 = (M + (N – k)m)v
➞
k + m(v
➞ + v
➞
k–1 );
•dernier saut : (M + m)v
➞
N–1 = Mv
➞
N + m(v
➞ + v
➞
N–1 ) .
On en déduit l’expression de la vitesse finale de la plate-forme :
Dans ce cas, chaque terme de la somme est inférieur à
la vitesse finale de la plate-forme est plus grande quand les N
personnes sautent en même temps.
Patinage
1 • Il n’y a pas de frottements, donc toutes les forces extérieures appliquées au système des deux patineurs sont verticales, le mouvement a lieu dans un plan horizontal : la vitesse du centre de masse G est constante et vaut simplement :
v
➞
G =
.
Sur le schéma, G se déplace à vitesse constante le long de la
droite d’équation x G = d 1 =
d 0 .
m 2
m 1 + m 2
m 1 v
➞
1 + m 2 v
➞
2
m 1 + m 2
x
y
à t = 0à t
A 2
A 1
G
GD
d 0
A 1 0
A 2 0
d 2
d 1
z
u 2
u 1
e r
4
m
M
v ,
v
v
v
N
x
k
N
m
MN km
e
➞
➞
➞
=
+−
=
=
∑ (( ))
.
f
1
vv
v
f
➞➞
➞
=−
=
Nm
M
Nm
M
e x .
Une fois accrochés, les deux patineurs restent à distance d 0
l’un de l’autre. La conservation du moment cinétique barycentrique :
L
➞
* = A 1 A 2
— ➞ ∧ m(V
➞
A 2
– V
➞
A 1
) = md 2 (t) w e
➞
z
où m =
est la masse du mobile fictif nous indique
que la vitesse de rotation w de l’axe A 1 A 2 est conservée. On
peut la calculer à l’instant où les patineurs s’accrochent :
w = w 0 =
.
Remarque
Cette valeur permet de vérifier la conservation de l’énergie,
donc ici de l’énergie cinétique (d = A 1 A 2 restant constante).
2 • Le système étant maintenant déformable, les forces intérieures travaillent. Le moment résultant des forces extérieures
en G est toujours nul, et le moment cinétique barycentrique
reste constant :
L
➞
* = md 2 (t)w(t)e
➞
z .
Donc :
d(t) 2 w(t) = d 0
2 w 0 = d 0 (v 2 – v 1 ),
soit
w(t) augmente quand d(t) diminue.
Le travail effectué par les deux patineurs est le travail des forces intérieures t int , d’après le théorème de l’énergie cinétique :
t int = ∆ K = ∆ K
* = md 2 (t)w 2 (t) – md 0
2 w 0
2
En éliminant w(t) , on obtient :
t int =
(v 2 – v 1 )
2
2
– 1 .
Interaction noyau-proton.
Distance minimale d’approche
1 • L’énergie mécanique du système {proton + noyau}
dans le référentiel barycentrique s’écrit : M = m ·
x 2 +
,
où m est la masse réduite du système, égale àe t
x = c
Pc N .
À l’instant initial,
On en déduit
m ·
x 2 +
= mv
2
0 .
La distance minimale entre les deux particules est donc :
(quand x est minimale, ·
x = 0).
x
Ze
min =
2
00
2
2 π εµ v
1
2
Ze 2
4πe 0 x
1
2
=
1
2
0
2
µv .
mM
mM +
Ze 2
4πe 0 x
1
2
5
d 0
d(t)
m 1 m 2
m 1 + m 2
1
2
1
2
1
2
w()
()
()
.
t
d
dt
=
−
02
1
2
vv
v 2 – v 1
d 0
m 1 m 2
m 1 + m 2
CORRIGÉS
Système de deux points matériels
9
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La photocopie non autorisée est un délit.