118
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Une fusée en morceaux
Le système, constitué des deux morceaux de la fusée, est soumis à son seul poids. Le mouvement du centre de masse de l’ensemble prolonge la trajectoire parabolique de la fusée. Le centre de masse «r etombe » donc à la distance 2D du point de
départ. Il se trouve au milieu des deux morceaux de la fusée : le
second morceau atterrit à la distance 3D du point de départ.
Les trajectoires de la fusée et de ses morceaux sont représentées ci-dessous :
Mouvements de rotation
et théorème de Kœnig
D’après le deuxième théorème de Kœnig :
Le mouvement de G dans le référentiel lié à O est un mouvement de rotation autour d’un axe fixe : v G = LW .
L’énergie cinétique barycentrique peut être calculée directement (le faire éventuellement), c’est aussi celle du mobile fictif en rotation sur un cercle de rayon autour de G à vitesse angulaire w , soit :
(avec
d’où, finalement :
D’après le premier théorème de Kœnig,
L
➞
O = L
➞
* + (m 1 + m 2 )OG
— ➞ ∧ v
➞
G .
Comme pour l’énergie cinétique, le moment cinétique barycentrique peut être calculé pour M 1 et M 2 , ou bien écrit
directement comme étant celui du mobile fictif :
L
➞
* = m 2 w e
➞
z .
K =+
+
1
2
1
2
2
12
2
µω ()
() () .
lm mL Ω
µ = +
mm
mm
12
12
),
K
* =
1
2
2
µω () l
KK
*
=+
+
1
2
12
2
() .
mm G
v
2
t
r
a
j
e
c
t
o
i
r
e
d
u
b
a
ry
c
e
n
tr
e
DDD
fusée
morceau n° 1
morceau n° 2
centre d’inertie
I
I
II
II
1
Finalement : L
➞
O = (m 2 w + (m 1 + m 2 )L 2 W)e
➞
z .
Remarque
L’énergie cinétique et le moment cinétique barycentriques
s’expriment respectivement comme l’énergie cinétique et le
moment cinétique en G d’un point matériel Pd e masse
m =
, tel que GP
— ➞ = M 1 M 2
— ➞ .
Plate-forme sur des rails
1 • Toutes les forces extérieures appliquées au système
{plate-forme + passagers} sont verticales (le poids et la réaction du rail) : la composante selon (Ox) de la quantité de
mouvement de l’ensemble se conserve.
a) Avant le saut : p
➞ = 0
➞ .A près le saut :
p
➞ = Mv
➞
f + Nm(v
➞ + v
➞
f ) = ((M + Nm)v f – Nmv)e
➞
x ,
d’où :
b) Avant le premier saut : p
➞
1 = 0
➞ .A près le premier saut :
p
➞
1 = (M + (N – 1)m)v
➞
1 + m(v
➞ + v
➞
1 )
(v
➞
1 est la vitesse de la plate-forme après le premier saut),
d’où :
=
v e
➞
x .
Le système considéré ensuite est constitué de la plate-forme
et des passagers qui restent.
Avant le deuxième saut : p
➞
2 = (M + (N – 1)m)v
➞
1 .
Après le deuxième saut :
p
➞
2 = (M + (N – 2)m)v
➞
2 + m(v
➞ + v
➞
2 ) ,
d’où :
De même, avant le k
e
saut (on considère comme système
la plate-forme et les N – (k – 1) passagers qui restent) :
p
➞
k = (M – (N – (k –1))m)v
➞
k–1 .
Après le k e saut :
p
➞
k = (M – (N – k)m)v
➞
k + m(v
➞ + v
➞
k ),
d’où :
Pour le dernier saut, on obtient :
Chacun des N termes de la somme étant supérieur à
la vitesse finale de la plate-forme est ici plus
grande que si les N personnes sautent en même temps.
m
MN m
v
+
,
vv
v
v
v
NN
k
N
x
m
Mm
m
MN km
e
➞➞
➞
➞
➞
=− +
=
+−
=
−
=
−
∑
1
0
1
()
.
f
vv
v
kk
m
MNkm
➞➞
➞
=− +−−
− 1
1
(())
.
vv
v
21
1
➞➞
➞
=− +−
m
MN
m
()
.
m
M + Nm
vv 1
➞
➞
=− +
m
MN m
vv f
➞
➞
=
−
+
Nm
MN m
e x .
3
m 1 m 2
m 1 + m 2
Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Une fusée en morceaux
Le système, constitué des deux morceaux de la fusée, est soumis à son seul poids. Le mouvement du centre de masse de l’ensemble prolonge la trajectoire parabolique de la fusée. Le centre de masse «r etombe » donc à la distance 2D du point de
départ. Il se trouve au milieu des deux morceaux de la fusée : le
second morceau atterrit à la distance 3D du point de départ.
Les trajectoires de la fusée et de ses morceaux sont représentées ci-dessous :
Mouvements de rotation
et théorème de Kœnig
D’après le deuxième théorème de Kœnig :
Le mouvement de G dans le référentiel lié à O est un mouvement de rotation autour d’un axe fixe : v G = LW .
L’énergie cinétique barycentrique peut être calculée directement (le faire éventuellement), c’est aussi celle du mobile fictif en rotation sur un cercle de rayon autour de G à vitesse angulaire w , soit :
(avec
d’où, finalement :
D’après le premier théorème de Kœnig,
L
➞
O = L
➞
* + (m 1 + m 2 )OG
— ➞ ∧ v
➞
G .
Comme pour l’énergie cinétique, le moment cinétique barycentrique peut être calculé pour M 1 et M 2 , ou bien écrit
directement comme étant celui du mobile fictif :
L
➞
* = m 2 w e
➞
z .
K =+
+
1
2
1
2
2
12
2
µω ()
() () .
lm mL Ω
µ = +
mm
mm
12
12
),
K
* =
1
2
2
µω () l
KK
*
=+
+
1
2
12
2
() .
mm G
v
2
t
r
a
j
e
c
t
o
i
r
e
d
u
b
a
ry
c
e
n
tr
e
DDD
fusée
morceau n° 1
morceau n° 2
centre d’inertie
I
I
II
II
1
Finalement : L
➞
O = (m 2 w + (m 1 + m 2 )L 2 W)e
➞
z .
Remarque
L’énergie cinétique et le moment cinétique barycentriques
s’expriment respectivement comme l’énergie cinétique et le
moment cinétique en G d’un point matériel Pd e masse
m =
, tel que GP
— ➞ = M 1 M 2
— ➞ .
Plate-forme sur des rails
1 • Toutes les forces extérieures appliquées au système
{plate-forme + passagers} sont verticales (le poids et la réaction du rail) : la composante selon (Ox) de la quantité de
mouvement de l’ensemble se conserve.
a) Avant le saut : p
➞ = 0
➞ .A près le saut :
p
➞ = Mv
➞
f + Nm(v
➞ + v
➞
f ) = ((M + Nm)v f – Nmv)e
➞
x ,
d’où :
b) Avant le premier saut : p
➞
1 = 0
➞ .A près le premier saut :
p
➞
1 = (M + (N – 1)m)v
➞
1 + m(v
➞ + v
➞
1 )
(v
➞
1 est la vitesse de la plate-forme après le premier saut),
d’où :
=
v e
➞
x .
Le système considéré ensuite est constitué de la plate-forme
et des passagers qui restent.
Avant le deuxième saut : p
➞
2 = (M + (N – 1)m)v
➞
1 .
Après le deuxième saut :
p
➞
2 = (M + (N – 2)m)v
➞
2 + m(v
➞ + v
➞
2 ) ,
d’où :
De même, avant le k
e
saut (on considère comme système
la plate-forme et les N – (k – 1) passagers qui restent) :
p
➞
k = (M – (N – (k –1))m)v
➞
k–1 .
Après le k e saut :
p
➞
k = (M – (N – k)m)v
➞
k + m(v
➞ + v
➞
k ),
d’où :
Pour le dernier saut, on obtient :
Chacun des N termes de la somme étant supérieur à
la vitesse finale de la plate-forme est ici plus
grande que si les N personnes sautent en même temps.
m
MN m
v
+
,
vv
v
v
v
NN
k
N
x
m
Mm
m
MN km
e
➞➞
➞
➞
➞
=− +
=
+−
=
−
=
−
∑
1
0
1
()
.
f
vv
v
kk
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MNkm
➞➞
➞
=− +−−
− 1
1
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.
vv
v
21
1
➞➞
➞
=− +−
m
MN
m
()
.
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M + Nm
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➞
➞
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m
MN m
vv f
➞
➞
=
−
+
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MN m
e x .
3
m 1 m 2
m 1 + m 2
Corrigés