©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
**Points de Lagrange
On étudie le mouvement d’une masse ponctuelle M, très
inférieure à M T et M L , soumise à l’influence de la Terre et
de la Lune. On cherche à déterminer les points où il faut la
placer pour qu’elle reste immobile par rapport à ces dernières. On considérera le système Terre–Lune comme un système isolé en interaction gravitationnelle, à la distance D = TL .
1 • La particule se trouve hors de la droite définie par les
centres de la Terre et de la Lune (notés T et L). Montrer
que si L , T et M forment un triangle équilatéral, M est
effectivement immobile par rapport au système Terre–Lune.
Les deux points définis ainsi sont notés L 1 et L 2 .
2 • La particule est placée maintenant sur la droite TL .
Montrer qu’il existe trois points L 3 , L 4 et L 5 pour lesquels la condition voulue est satisfaite.
8
3 • Quel est l’intérêt de ces positions d’équilibre ? On peut
montrer que les points L 1 et L 2 sont des positions
d’équilibre stable pour une masse ponctuelle évoluant
sous l’action de deux astres de masse m 1 et m 2 si
ou est supérieur à une constante de l’ordre
de 25.
Citer des illustrations de ces résultats.
m 2
m 1
m
m
1
2
EXERCICES
Système de deux points matériels
9
117
Conseis
1) Projeter la relation fondamentale de la dynamique
appliquée au point P sur la normale au mouvement
circulaire. En déduire la troisième loi de Kepler et
l’appliquer au mouvement de la Terre autour du
Soleil, puis à celui de la Lune autour de la Terre pour
éliminer les grandeurs inconnues.
2) Reprendre la démarche précédente en étudiant
maintenant le mouvement du mobile réduit.
Conseils
1) Déterminer la vitesse de rotation w 0 du système
Terre–Lune, considéré comme un système isolé,
autour de son centre de masse, par rapport au référentiel héliocentrique S . Écrire ensuite la condition
d’équilibre du point M dans le référentiel tournant à la vitesse angulaire w 0 par rapport à S . Pour
cela, on pourra effectuer un bilan des forces appliquées à M dans et vérifier que, quand L , T et
M forment un triangle équilatéral, le point M est
immobile par rapport au système Terre–Lune. On
pourra aussi raisonner à partir de l’énergie potentielle de M dans le référentiel . Il faut alors exprimer
l’énergie potentielle P uniquement en fonction des
distances TM et LM .
2) Exprimer P en fonction de x = GM , où G est
le centre de masse du système Terre–Lune.
La photocopie non autorisée est un délit.
**Points de Lagrange
On étudie le mouvement d’une masse ponctuelle M, très
inférieure à M T et M L , soumise à l’influence de la Terre et
de la Lune. On cherche à déterminer les points où il faut la
placer pour qu’elle reste immobile par rapport à ces dernières. On considérera le système Terre–Lune comme un système isolé en interaction gravitationnelle, à la distance D = TL .
1 • La particule se trouve hors de la droite définie par les
centres de la Terre et de la Lune (notés T et L). Montrer
que si L , T et M forment un triangle équilatéral, M est
effectivement immobile par rapport au système Terre–Lune.
Les deux points définis ainsi sont notés L 1 et L 2 .
2 • La particule est placée maintenant sur la droite TL .
Montrer qu’il existe trois points L 3 , L 4 et L 5 pour lesquels la condition voulue est satisfaite.
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3 • Quel est l’intérêt de ces positions d’équilibre ? On peut
montrer que les points L 1 et L 2 sont des positions
d’équilibre stable pour une masse ponctuelle évoluant
sous l’action de deux astres de masse m 1 et m 2 si
ou est supérieur à une constante de l’ordre
de 25.
Citer des illustrations de ces résultats.
m 2
m 1
m
m
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EXERCICES
Système de deux points matériels
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Conseis
1) Projeter la relation fondamentale de la dynamique
appliquée au point P sur la normale au mouvement
circulaire. En déduire la troisième loi de Kepler et
l’appliquer au mouvement de la Terre autour du
Soleil, puis à celui de la Lune autour de la Terre pour
éliminer les grandeurs inconnues.
2) Reprendre la démarche précédente en étudiant
maintenant le mouvement du mobile réduit.
Conseils
1) Déterminer la vitesse de rotation w 0 du système
Terre–Lune, considéré comme un système isolé,
autour de son centre de masse, par rapport au référentiel héliocentrique S . Écrire ensuite la condition
d’équilibre du point M dans le référentiel tournant à la vitesse angulaire w 0 par rapport à S . Pour
cela, on pourra effectuer un bilan des forces appliquées à M dans et vérifier que, quand L , T et
M forment un triangle équilatéral, le point M est
immobile par rapport au système Terre–Lune. On
pourra aussi raisonner à partir de l’énergie potentielle de M dans le référentiel . Il faut alors exprimer
l’énergie potentielle P uniquement en fonction des
distances TM et LM .
2) Exprimer P en fonction de x = GM , où G est
le centre de masse du système Terre–Lune.