©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
3 • Étudier le mouvement du système pour t > t 1 .
Déterminer en particulier la période des oscillations de
l’ensemble autour du centre de masse.
4 • Le point A viendra-t-il retoucher le mur ?
Détermination du rapport des
masses de la Terre et du Soleil
à l’aide de la troisième loi de
Kepler
1 • Calculer la période de révolution d’un objet quasi ponctuel P de masse m gravitant à une distante r (sur une orbite circulaire) du centre d’un astre de masse M m .
Exprimer le rapport
en fonction de G et de M .
Calculer le rapport
des masses de la Terre et du
Soleil. On donne :
• distance moyenne du Soleil à la Terre :
D 1 = 150 . 10
6
km ;
• distance moyenne de la Terre à la Lune :
D 2 = 384 . 10 3 km ;
• durée d’une révolution sidérale de la Lune :
T 2 = 27,25 jours.
2 • Reprendre le calcul précédent du rapport
en ne
négligeant plus m devant M . Donner la nouvelle valeur
de
. Évaluer l’écart relatif que représente cette valeur
par rapport à celle obtenue à la question 1).
Donnée :M T =81 M L .
M
M
T
S
T
r
2
3
M
M
T
S
T
r
2
3
7
Interaction noyau–proton.
Distance minimale d’approche
On étudie l’interaction entre un proton P de masse m et
un noyau N de masse M et de charge Ze se déplaçant
tous les deux sur l’axe (Ox). Dans l’état initial, le noyau
est au repos et le proton est infiniment éloigné du noyau et
a une vitesse v
➞
0 = + v 0 e
➞
x .
1 • Déterminer la distance minimale d’approche du proton.
2 • Quelle est la vitesse du proton, dans le référentiel fixe,
quand il est le plus proche du noyau ?
Remarque : Les deux particules exercent l’une sur l’autre une
force d’interaction répulsive de module
où r
est leur distance mutuelle.
*Mouvements de blocs reliés
par un ressort
Deux blocs A et B , de masse m , assimilables à des
points matériels, sont reliés entre eux par un ressort de raideur k , de longueur à vide v , et reposent sur une surface horizontale. Le ressort est comprimé par l’intermédiaire d’une ficelle reliant A et B (son allongement est
– ∆ 0 < 0). Initialement, A se trouve contre un mur vertical. À l’instant t = 0 , la ficelle casse. Les mouvements de
A et de B ont lieu sans frottements.
1 • Déterminer la réaction du mur sur le bloc A à l’instant t , puis à l’instant t 1 pour lequel A se met en mouvement.
2 • Déterminer la quantité de mouvement totale et la vitesse de G pour t > t 1 .
ficelle
AB
6
f
Ze
r
=
2
0
2
4πε
,
v 0
➞
P ( m )
N
x
( M )
5
EXERCICES
Système de deux points matériels
9
116
Conseil
Utiliser la conservation de l’énergie du système
{proton + noyau} dans le référentiel barycentrique.
Ne pas oublier que le problème est unidimensionnel.
Conseis
1) Analyser brièvement ce qui se passe à l’instant où
la ficelle casse. Que peut-on en déduire pour le point
A ? Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à B à l’instant t = 0 + pour déterminer son
accélération. En déduire celle du centre de masse,
puis la réaction R
➞ du mur sur A .
Pour déterminer t 1 , chercher l’instant pour lequel R
➞
s’annule pour la première fois.
2) Appliquer la théorème de la quantité de mouvement à l’ensemble.
3) Le mouvement de G se déduit de la question précédente. Pour étudier le mouvement de A et B
autour de G , appliquer la relation fondamentale de
la dynamique à chacun des deux points séparément et
soustraire les deux équations obtenues.
La photocopie non autorisée est un délit.
3 • Étudier le mouvement du système pour t > t 1 .
Déterminer en particulier la période des oscillations de
l’ensemble autour du centre de masse.
4 • Le point A viendra-t-il retoucher le mur ?
Détermination du rapport des
masses de la Terre et du Soleil
à l’aide de la troisième loi de
Kepler
1 • Calculer la période de révolution d’un objet quasi ponctuel P de masse m gravitant à une distante r (sur une orbite circulaire) du centre d’un astre de masse M m .
Exprimer le rapport
en fonction de G et de M .
Calculer le rapport
des masses de la Terre et du
Soleil. On donne :
• distance moyenne du Soleil à la Terre :
D 1 = 150 . 10
6
km ;
• distance moyenne de la Terre à la Lune :
D 2 = 384 . 10 3 km ;
• durée d’une révolution sidérale de la Lune :
T 2 = 27,25 jours.
2 • Reprendre le calcul précédent du rapport
en ne
négligeant plus m devant M . Donner la nouvelle valeur
de
. Évaluer l’écart relatif que représente cette valeur
par rapport à celle obtenue à la question 1).
Donnée :M T =81 M L .
M
M
T
S
T
r
2
3
M
M
T
S
T
r
2
3
7
Interaction noyau–proton.
Distance minimale d’approche
On étudie l’interaction entre un proton P de masse m et
un noyau N de masse M et de charge Ze se déplaçant
tous les deux sur l’axe (Ox). Dans l’état initial, le noyau
est au repos et le proton est infiniment éloigné du noyau et
a une vitesse v
➞
0 = + v 0 e
➞
x .
1 • Déterminer la distance minimale d’approche du proton.
2 • Quelle est la vitesse du proton, dans le référentiel fixe,
quand il est le plus proche du noyau ?
Remarque : Les deux particules exercent l’une sur l’autre une
force d’interaction répulsive de module
où r
est leur distance mutuelle.
*Mouvements de blocs reliés
par un ressort
Deux blocs A et B , de masse m , assimilables à des
points matériels, sont reliés entre eux par un ressort de raideur k , de longueur à vide v , et reposent sur une surface horizontale. Le ressort est comprimé par l’intermédiaire d’une ficelle reliant A et B (son allongement est
– ∆ 0 < 0). Initialement, A se trouve contre un mur vertical. À l’instant t = 0 , la ficelle casse. Les mouvements de
A et de B ont lieu sans frottements.
1 • Déterminer la réaction du mur sur le bloc A à l’instant t , puis à l’instant t 1 pour lequel A se met en mouvement.
2 • Déterminer la quantité de mouvement totale et la vitesse de G pour t > t 1 .
ficelle
AB
6
f
Ze
r
=
2
0
2
4πε
,
v 0
➞
P ( m )
N
x
( M )
5
EXERCICES
Système de deux points matériels
9
116
Conseil
Utiliser la conservation de l’énergie du système
{proton + noyau} dans le référentiel barycentrique.
Ne pas oublier que le problème est unidimensionnel.
Conseis
1) Analyser brièvement ce qui se passe à l’instant où
la ficelle casse. Que peut-on en déduire pour le point
A ? Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à B à l’instant t = 0 + pour déterminer son
accélération. En déduire celle du centre de masse,
puis la réaction R
➞ du mur sur A .
Pour déterminer t 1 , chercher l’instant pour lequel R
➞
s’annule pour la première fois.
2) Appliquer la théorème de la quantité de mouvement à l’ensemble.
3) Le mouvement de G se déduit de la question précédente. Pour étudier le mouvement de A et B
autour de G , appliquer la relation fondamentale de
la dynamique à chacun des deux points séparément et
soustraire les deux équations obtenues.