©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Une fusée en morceaux
Une fusée, lancée depuis le sol, effectue un mouvement
parabolique. Elle se sépare en deux parties de masses égales au moment où elle atteint le sommet de sa trajectoire.
La première partie retombe à la verticale de ce sommet sur
le sol, à la distance D de son point de lancement. Où
atterrit l’autre partie ? On supposera que g
➞ est uniforme.
Mouvements de rotation
et théorème de Kœnig
On considère un mobile constitué de deux billes M 1 et
M 2 , de masses m 1 et m 2 , reliées par une tige rigide de
longueur et de masse négligeable. Le centre de masse
G du système est, quant à lui, relié à un point fixe O par
l’intermédiaire d’une autre tige de longueur L et de masse
négligeable également. L’ensemble se déplace sans frottements sur un plan horizontal. G tourne autour de O à la
vitesse angulaire W et les deux billes tournent autour de
G à la vitesse angulaire w , les deux rotations ayant lieu
dans le même sens.
Déterminer l’énergie cinétique et le moment cinétique en O
du système des deux billes dans le référentiel fixe lié à O .
* Plate-forme sur des rails
1 • Une grande plate-forme de masse M est posée sur un
rail rectiligne, de direction (Ox), sur lequel elle glisse
sans frottement. À une extrémité de la plate-forme se trou3
G
M 1
M 2
L
O
z
W
w
2
1
vent N personnes de même masse m . Elles quittent la
plate-forme de deux façons :
a) les N personnes courent ensemble jusqu’à l’autre
extrémité de la plate-forme et sautent en même temps avec
la vitesse v
➞ = – v e
➞
x par rapport à la plate-forme après le
saut (v > 0) ;
b) les N personnes courent et sautent les unes après les
autres (avec la même vitesse v
➞ que précédemment, elles
démarrent dès que la personne précédente a sauté).
Déterminer, dans les deux cas, la vitesse finale v
➞
f de la
plate-forme. Laquelle de ces deux façons de la quitter lui
donnera la vitesse la plus élevée ?
2 • Que deviennent ces résultats si la vitesse v
➞ est définie par rapport à la plate-forme avant le saut ?
Patinage
1 • Deux patineurs A 1 et A 2 se déplacent sur une patinoire
horizontale, le long de deux droites parallèles distantes de
d 0 , leur vitesse étant respectivement v 1 et v 2 , leur masse
m 1 et m 2 . Arrivés au même niveau, ils s’accrochent rigidement. En assimilant chaque patineur à un point matériel,
étudier le mouvement ultérieur de l’ensemble des deux
patineurs (vitesse de leur centre de masse G , vitesse de
rotation de l’ensemble autour de G). Commenter.
2 • Les deux patineurs se tirent alors l’un vers l’autre, leur
distance mutuelle à l’instant t est alors d(t) . Déterminer
l’évolution de leur vitesse de rotation et le travail qu’ils
effectuent, en fonction de d(t) , d 0 , v 1 et v 2 .
4
115
Exercices
Conseil
Appliquer le théorème de la quantité de mouvement
à l’ensemble des deux morceaux de la fusée après la
séparation. Quelle est alors la trajectoire du centre de
masse ?
Conseil
Appliquer les théorèmes de Kœnig. Comment s’expriment la vitesse et le moment cinétique d’un point
matériel décrivant un mouvement circulaire ?
Conseils
Appliquer le théorème de la quantité de mouvement
au système {plate-forme + passagers}.
Comment est dirigée la résultante de forces extérieures ? Qu’en résulte-t-il pour la quantité de mouvement de ce système ?
Conseils
1) Appliquer le théorème de la quantité de mouvement au système des deux patineurs.
Comment est dirigée la résultante des forces extérieures ? Qu’en résulte-t-il pour la vitesse du centre
de masse de ce système ?
Pour étudier le mouvement des deux patineurs autour
de leur centre de masse, on se base sur les lois de
conservation (moment cinétique, énergie cinétique).
On peut travailler dans le référentiel barycentrique ou
dans le référentiel fixe.
2) Quelle loi de conservation est encore vérifiée ?
Que représente le travail des forces intérieures ?
La photocopie non autorisée est un délit.
Une fusée en morceaux
Une fusée, lancée depuis le sol, effectue un mouvement
parabolique. Elle se sépare en deux parties de masses égales au moment où elle atteint le sommet de sa trajectoire.
La première partie retombe à la verticale de ce sommet sur
le sol, à la distance D de son point de lancement. Où
atterrit l’autre partie ? On supposera que g
➞ est uniforme.
Mouvements de rotation
et théorème de Kœnig
On considère un mobile constitué de deux billes M 1 et
M 2 , de masses m 1 et m 2 , reliées par une tige rigide de
longueur et de masse négligeable. Le centre de masse
G du système est, quant à lui, relié à un point fixe O par
l’intermédiaire d’une autre tige de longueur L et de masse
négligeable également. L’ensemble se déplace sans frottements sur un plan horizontal. G tourne autour de O à la
vitesse angulaire W et les deux billes tournent autour de
G à la vitesse angulaire w , les deux rotations ayant lieu
dans le même sens.
Déterminer l’énergie cinétique et le moment cinétique en O
du système des deux billes dans le référentiel fixe lié à O .
* Plate-forme sur des rails
1 • Une grande plate-forme de masse M est posée sur un
rail rectiligne, de direction (Ox), sur lequel elle glisse
sans frottement. À une extrémité de la plate-forme se trou3
G
M 1
M 2
L
O
z
W
w
2
1
vent N personnes de même masse m . Elles quittent la
plate-forme de deux façons :
a) les N personnes courent ensemble jusqu’à l’autre
extrémité de la plate-forme et sautent en même temps avec
la vitesse v
➞ = – v e
➞
x par rapport à la plate-forme après le
saut (v > 0) ;
b) les N personnes courent et sautent les unes après les
autres (avec la même vitesse v
➞ que précédemment, elles
démarrent dès que la personne précédente a sauté).
Déterminer, dans les deux cas, la vitesse finale v
➞
f de la
plate-forme. Laquelle de ces deux façons de la quitter lui
donnera la vitesse la plus élevée ?
2 • Que deviennent ces résultats si la vitesse v
➞ est définie par rapport à la plate-forme avant le saut ?
Patinage
1 • Deux patineurs A 1 et A 2 se déplacent sur une patinoire
horizontale, le long de deux droites parallèles distantes de
d 0 , leur vitesse étant respectivement v 1 et v 2 , leur masse
m 1 et m 2 . Arrivés au même niveau, ils s’accrochent rigidement. En assimilant chaque patineur à un point matériel,
étudier le mouvement ultérieur de l’ensemble des deux
patineurs (vitesse de leur centre de masse G , vitesse de
rotation de l’ensemble autour de G). Commenter.
2 • Les deux patineurs se tirent alors l’un vers l’autre, leur
distance mutuelle à l’instant t est alors d(t) . Déterminer
l’évolution de leur vitesse de rotation et le travail qu’ils
effectuent, en fonction de d(t) , d 0 , v 1 et v 2 .
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Exercices
Conseil
Appliquer le théorème de la quantité de mouvement
à l’ensemble des deux morceaux de la fusée après la
séparation. Quelle est alors la trajectoire du centre de
masse ?
Conseil
Appliquer les théorèmes de Kœnig. Comment s’expriment la vitesse et le moment cinétique d’un point
matériel décrivant un mouvement circulaire ?
Conseils
Appliquer le théorème de la quantité de mouvement
au système {plate-forme + passagers}.
Comment est dirigée la résultante de forces extérieures ? Qu’en résulte-t-il pour la quantité de mouvement de ce système ?
Conseils
1) Appliquer le théorème de la quantité de mouvement au système des deux patineurs.
Comment est dirigée la résultante des forces extérieures ? Qu’en résulte-t-il pour la vitesse du centre
de masse de ce système ?
Pour étudier le mouvement des deux patineurs autour
de leur centre de masse, on se base sur les lois de
conservation (moment cinétique, énergie cinétique).
On peut travailler dans le référentiel barycentrique ou
dans le référentiel fixe.
2) Quelle loi de conservation est encore vérifiée ?
Que représente le travail des forces intérieures ?