On peut alors écrire :
Le point sera en équilibre si P est extrémale. Si le point
M n’est pas sur la droite TM , les variables TM et LM
sont indépendantes, la fonction P est extrémale quand :
=
= 0,
ce qui donne LM = TM = D : c’est bien le résultat attendu.
2 • Si M est sur la droite TL , sa position ne dépend plus que
d’un paramètre, par exemple x = GM
— .
On a alors TM = |r T + x| et LM = |r L – x| .
L’énergie potentielle de M dans le référentiel tournant est :
avec α =
m
m
L
T
.
T
T
TT
T
−
+
+
−
+
+
Gmm
r
x
r
x
r
x
r
()
1
1
1
1
21
3
2
2
α
α
α
α
P =
P
T
T
L
L
TL
=−
+
+
−
++
Gm
m
rx
m
rx
mm
x
D
|| ||
()
1
2
2
3
∂ P
∂ ( LM)
∂ P
∂(TM)
P
TL
T
L
cte .
=−
++
+
+
Gm
m
TM
m
LM
m
TM
D
m
LM
D
2
3
2
3
2
2
L’allure de la courbe
en fonction de
est donnée
ci-dessous :
Il y ad onc trois positions d’équilibre sur la droite TL : L 3
entre T et L , L 4 et L 5 à l’extérieur (l’un du côté de T ,
l’autre du côté de L).
3 • En considérant de la même façon le système
Soleil–Jupiter (la condition de stabilité des points L 1 et L 2
est largement vérifiée), on aobservé la présence d’astéroïdes
aux points L 1 et L 2 (planètes troyennes). Le point L 3 du système Terre–Soleil peut d’autre part constituer un point privilégié d’observation de l’espace interplanétaire.
1
0
L 3
L 5
L 4
P
x
r T
1
α
x
r T
PT
T
r
Gmm
CORRIGÉS
Système de deux points matériels
9
122
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Le point sera en équilibre si P est extrémale. Si le point
M n’est pas sur la droite TM , les variables TM et LM
sont indépendantes, la fonction P est extrémale quand :
=
= 0,
ce qui donne LM = TM = D : c’est bien le résultat attendu.
2 • Si M est sur la droite TL , sa position ne dépend plus que
d’un paramètre, par exemple x = GM
— .
On a alors TM = |r T + x| et LM = |r L – x| .
L’énergie potentielle de M dans le référentiel tournant est :
avec α =
m
m
L
T
.
T
T
TT
T
−
+
+
−
+
+
Gmm
r
x
r
x
r
x
r
()
1
1
1
1
21
3
2
2
α
α
α
α
P =
P
T
T
L
L
TL
=−
+
+
−
++
Gm
m
rx
m
rx
mm
x
D
|| ||
()
1
2
2
3
∂ P
∂ ( LM)
∂ P
∂(TM)
P
TL
T
L
cte .
=−
++
+
+
Gm
m
TM
m
LM
m
TM
D
m
LM
D
2
3
2
3
2
2
L’allure de la courbe
en fonction de
est donnée
ci-dessous :
Il y ad onc trois positions d’équilibre sur la droite TL : L 3
entre T et L , L 4 et L 5 à l’extérieur (l’un du côté de T ,
l’autre du côté de L).
3 • En considérant de la même façon le système
Soleil–Jupiter (la condition de stabilité des points L 1 et L 2
est largement vérifiée), on aobservé la présence d’astéroïdes
aux points L 1 et L 2 (planètes troyennes). Le point L 3 du système Terre–Soleil peut d’autre part constituer un point privilégié d’observation de l’espace interplanétaire.
1
0
L 3
L 5
L 4
P
x
r T
1
α
x
r T
PT
T
r
Gmm
CORRIGÉS
Système de deux points matériels
9
122
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.