ESSENTIEL
Cinématique du point–Changementder éférentiel
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
•C oordonnées sphériques : OM
— ➞ = re
➞
r ;base (e
➞
r , e
➞
q , e
➞
j )(doc. 3).
Représentations du mouvement
•Latrajectoire est constituée de l’ensemble des positionssuccessives OM
— ➞
(t)=
➞
r(t)dupoint mobile M
étudié.
•Dans l’espace des vitesses, l’ensembledes positions successives ON
— ➞
(t)=v
➞
(t)constitue l’hodographe du mouvement.
•D ans l’espace des phases,l ep oint P repéré par OP
— ➞ =( OM
— ➞
, ON
— ➞
)d écrit la trajectoire de phase du
mobile. Pour un mouvement àundegré de liberté, le point de phase P se déplace dans le plan de phase :
OP
— ➞ =(x(t), v(t)).
Vitesse d’un point
Soit O un point fixe du référentiel .Levecteur vitesse de M par rapport àceréférentiel est :
v
➞
(M) / = /
• Expression en coordonnées cartésiennes : v
➞
(M) / = ·
xe
➞
x + ·
ye
➞
y + ·
ze
➞
z .
• Expression en coordonnées cylindriques : v
➞
(M) / = ·
re
➞
r + r
·
qe
➞
q + ·
ze
➞
z .
Accélération d’un point
Le vecteur accélération de M par rapport àceréférentiel est :
• Expression en coordonnées cartésiennes : a
➞
(M) / = ¨
xe
➞
x + ¨
ye
➞
y + ¨
ze
➞
z .
• Expression en coordonnées cylindriques : a
➞
(M) / =(¨ r –r
·
q
2
)e
➞
r +(r ¨
q +2 ·
r
·
q)e
➞
q +¨ ze
➞
z ;
ou encore : a
➞
(M) / =(¨ r–r
·
q 2 )e
➞
r +( r 2 ·
q ) e
➞
q + ¨
ze
➞
z .
Mouvementcirculaire
Le point M se déplace sur un cercle de centre O,de rayon R ,d’axe (Oz).Ilest repéré par ses coordonnées polaires sur le cercle (r = R,q).
OM
— ➞ = Re
➞
r ;
1
r
d
dt
a
➞
()
d
2
d
/
M
OM
t
2
/
/
/




=
d
d
v (M)
t
/




=
.
➞
dOM
— ➞
dt
e z
O
z
x
y
r
M
H
ϕ
θ
e r
e x
e y
u
e ϕ
e θ
ϕ
e r
u
u
e ϕ
e ϕ
e θ
r s i n
y
H
H
M
x
z
θ
θ
r
Doc. 3.b. Plans :z=0 et j =cte .
Doc. 3.a.