ESSENTIEL
Système de deux points matériels
9
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
• Les moments cinétiques en deux points O et O sont liés par la relation : L
➞
O = L
➞
O + p
➞ ∧ OO
— ➞
.
Énergie cinétique : L’énergie cinétique du système est : K = m 1 v
2
1 + m 2 v
2
2 .
• Référentiel barycentrique
étant le référentiel d’étude, le référentiel barycentrique * est le référentiel en translation
par rapport à dans lequel la résultante cinétique du système est nulle : p
➞
/ * = p
➞
* = 0
➞ : il est
en translation à vitesse v
➞
G par rapport au référentiel d’étude . Le référentiel * est encore
appelé référentiel du centre de masse.
Dans ce référentiel *:
• le moment cinétique du système est le même en tout point : L
➞
O
* = L
➞
O
* = L
➞
* ;
• le moment cinétique du système au point G est égal à son moment cinétique barycentrique :
L
➞
G = L
➞ * .
• Utilisation du mobile fictif
Le moment cinétique et l’énergie cinétique barycentriques du système s’identifient à ceux qu’aurait le mobile fictif de masse m , placé en M tel que GM
— ➞ = M 1 M 2
— ➞ en mouvement dans le référentiel barycentrique :
L
➞ * = m r
➞ ∧
·
r
➞ et * K = m
·
r
➞ 2
, avec
=+, ou encore m =
.
• Théorèmes de Kœnig
Le moment cinétique en O du système S est la somme du moment cinétique barycentrique et
du moment cinétique en O du point G affecté de toute la masse :
L
➞
O = L
➞ * + OG
— ➞ ∧ Mv
➞
G = L
➞ * + OG
— ➞ ∧ p
➞ .
L’énergie cinétique du système S est la somme de son énergie cinétique barycentrique et de l’énergie cinétique du point G affecté de toute la masse :
K = K
* + Mv
2
G .
Évolutions du système de deux points matériels
• Actions exercées sur le système
La résultante des actions mécaniques subies par le système est égale à la somme des forces extérieures subies par ses points :
R
➞ =
i
F
➞
ext → M i
= R
➞
ext (R
➞
int = 0
➞ ).
Le moment, en un point O , résultant des actions mécaniques subies par le système est égal à la
somme des moments en O des forces extérieures subies par ses points :
O
— ➞ =
i
OM i
— ➞ ∧ F
➞
ext → M i
= O
— ➞
ext
( O
— ➞
int
= 0
➞ ).
Les moments d’un ensemble de forces de résultante R
➞ en deux points O et O sont liés par la
relation :
O
— ➞ = O
— ➞ + R
➞ ∧ OO
— ➞
.
La puissance des forces intérieures au système est = F 1 → 2
, et ne dépend pas du référentiel.
Elle est en général non nulle si le système est déformable. Elle est nulle pour un système rigide :
r = cte .
dr
dt
1
2
m 1 m 2
m 1 + m 2
1
m 2
1
m 1
1
m
1
2
1
2
1
2
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Système de deux points matériels
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
• Les moments cinétiques en deux points O et O sont liés par la relation : L
➞
O = L
➞
O + p
➞ ∧ OO
— ➞
.
Énergie cinétique : L’énergie cinétique du système est : K = m 1 v
2
1 + m 2 v
2
2 .
• Référentiel barycentrique
étant le référentiel d’étude, le référentiel barycentrique * est le référentiel en translation
par rapport à dans lequel la résultante cinétique du système est nulle : p
➞
/ * = p
➞
* = 0
➞ : il est
en translation à vitesse v
➞
G par rapport au référentiel d’étude . Le référentiel * est encore
appelé référentiel du centre de masse.
Dans ce référentiel *:
• le moment cinétique du système est le même en tout point : L
➞
O
* = L
➞
O
* = L
➞
* ;
• le moment cinétique du système au point G est égal à son moment cinétique barycentrique :
L
➞
G = L
➞ * .
• Utilisation du mobile fictif
Le moment cinétique et l’énergie cinétique barycentriques du système s’identifient à ceux qu’aurait le mobile fictif de masse m , placé en M tel que GM
— ➞ = M 1 M 2
— ➞ en mouvement dans le référentiel barycentrique :
L
➞ * = m r
➞ ∧
·
r
➞ et * K = m
·
r
➞ 2
, avec
=+, ou encore m =
.
• Théorèmes de Kœnig
Le moment cinétique en O du système S est la somme du moment cinétique barycentrique et
du moment cinétique en O du point G affecté de toute la masse :
L
➞
O = L
➞ * + OG
— ➞ ∧ Mv
➞
G = L
➞ * + OG
— ➞ ∧ p
➞ .
L’énergie cinétique du système S est la somme de son énergie cinétique barycentrique et de l’énergie cinétique du point G affecté de toute la masse :
K = K
* + Mv
2
G .
Évolutions du système de deux points matériels
• Actions exercées sur le système
La résultante des actions mécaniques subies par le système est égale à la somme des forces extérieures subies par ses points :
R
➞ =
i
F
➞
ext → M i
= R
➞
ext (R
➞
int = 0
➞ ).
Le moment, en un point O , résultant des actions mécaniques subies par le système est égal à la
somme des moments en O des forces extérieures subies par ses points :
O
— ➞ =
i
OM i
— ➞ ∧ F
➞
ext → M i
= O
— ➞
ext
( O
— ➞
int
= 0
➞ ).
Les moments d’un ensemble de forces de résultante R
➞ en deux points O et O sont liés par la
relation :
O
— ➞ = O
— ➞ + R
➞ ∧ OO
— ➞
.
La puissance des forces intérieures au système est = F 1 → 2
, et ne dépend pas du référentiel.
Elle est en général non nulle si le système est déformable. Elle est nulle pour un système rigide :
r = cte .
dr
dt
1
2
m 1 m 2
m 1 + m 2
1
m 2
1
m 1
1
m
1
2
1
2
1
2
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