ESSENTIEL
Système de deux points matériels
9
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
• Dynamique d’ensemble
Le mouvement du barycentre est identique à celui d’un point matériel de masse M soumis à une
force égale à la résultante des forces extérieures :
= M
= R
➞
ext .
= O
— ➞
ext
traduit le théorème du moment cinétique en un point O fixe.
L’égalité
= G
— ➞
ext
traduit le théorème du moment cinétique barycentrique.
L’égalité
= ∆ ext traduit le théorème du moment cinétique, en projection sur un axe fixe
∆ = (O, e
➞
∆ ).
Dans un référentiel non galiléen, les résultats précédents sont applicables, à condition de comptabiliser les forces d’inertie agissant sur les points matériels comme des forces extérieures supplémentaires.
• Étude énergétique
Le théorème de la puissance cinétique s’écrit
= ext + int .
Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit ∆ K = ext + int et fait intervenir le travail de toutes
les forces entre l’état initial et l’état final du système.
L’énergie mécanique du système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :
M = K + P = K + P int + P ext .
Le théorème de l’énergie s’écrit alors ∆ M = NC , travail des actions non conservatives.
Pour un système conservatif, l’énergie mécanique est une constante du mouvement.
Système de deux points matériels isolé
• Généralités
La résultante et le moment des actions extérieures sont nuls.
La quantité de mouvement totale p
➞ = Mv
➞
G et le moment cinétique barycentrique L
➞ * sont des
constantes du mouvement.
Le moment cinétique L
➞
O en un point fixe du référentiel galiléen est lui aussi conservé.
• Utilisation du mobile fictif
L’étude du mouvement relatif, en référentiel galiléen, du système à deux corps isolé se ramène à
l’étude du mouvement du mobile fictif soumis à la force centrale F
➞
1 → 2 :
m
= F 1 → 2 e
➞
r , avec m =
.
Le moment cinétique du mobile fictif L
➞
* = m r
➞ ∧ r
·
➞ , est conservé. Le mouvement du mobile fictif est plan, et satisfait la loi des aires.
La conservation de l’énergie mécanique du système isolé, lorsque la force intérieure est
conservative, est traduite par la conservation de l’énergie mécanique du mobile fictif :
M
* = m r
·
➞ 2
+ P int , qui est l’énergie mécanique barycentrique du système.
1
2
m 1 m 2
m 1 + m 2
d 2 r
➞
dt
2
d K
dt
dL ∆
dt
dL
➞ *
dt
dL
➞
O
dt
dv
➞
G
dt
dp
➞
dt
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Système de deux points matériels
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
• Dynamique d’ensemble
Le mouvement du barycentre est identique à celui d’un point matériel de masse M soumis à une
force égale à la résultante des forces extérieures :
= M
= R
➞
ext .
= O
— ➞
ext
traduit le théorème du moment cinétique en un point O fixe.
L’égalité
= G
— ➞
ext
traduit le théorème du moment cinétique barycentrique.
L’égalité
= ∆ ext traduit le théorème du moment cinétique, en projection sur un axe fixe
∆ = (O, e
➞
∆ ).
Dans un référentiel non galiléen, les résultats précédents sont applicables, à condition de comptabiliser les forces d’inertie agissant sur les points matériels comme des forces extérieures supplémentaires.
• Étude énergétique
Le théorème de la puissance cinétique s’écrit
= ext + int .
Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit ∆ K = ext + int et fait intervenir le travail de toutes
les forces entre l’état initial et l’état final du système.
L’énergie mécanique du système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :
M = K + P = K + P int + P ext .
Le théorème de l’énergie s’écrit alors ∆ M = NC , travail des actions non conservatives.
Pour un système conservatif, l’énergie mécanique est une constante du mouvement.
Système de deux points matériels isolé
• Généralités
La résultante et le moment des actions extérieures sont nuls.
La quantité de mouvement totale p
➞ = Mv
➞
G et le moment cinétique barycentrique L
➞ * sont des
constantes du mouvement.
Le moment cinétique L
➞
O en un point fixe du référentiel galiléen est lui aussi conservé.
• Utilisation du mobile fictif
L’étude du mouvement relatif, en référentiel galiléen, du système à deux corps isolé se ramène à
l’étude du mouvement du mobile fictif soumis à la force centrale F
➞
1 → 2 :
m
= F 1 → 2 e
➞
r , avec m =
.
Le moment cinétique du mobile fictif L
➞
* = m r
➞ ∧ r
·
➞ , est conservé. Le mouvement du mobile fictif est plan, et satisfait la loi des aires.
La conservation de l’énergie mécanique du système isolé, lorsque la force intérieure est
conservative, est traduite par la conservation de l’énergie mécanique du mobile fictif :
M
* = m r
·
➞ 2
+ P int , qui est l’énergie mécanique barycentrique du système.
1
2
m 1 m 2
m 1 + m 2
d 2 r
➞
dt
2
d K
dt
dL ∆
dt
dL
➞ *
dt
dL
➞
O
dt
dv
➞
G
dt
dp
➞
dt
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