∆ g
➞
L
De même :
∆ g
➞
S
b) Le diamètre apparent e sous lequel on voit le Soleil ou la Lune
depuis P vérifie
, où R L et R S sont
les rayons respectifs de la Lune et du Soleil.
À t = 0:
La contribution du Soleil aux marées est loin d’être négligeable : elle est simplement environ deux fois moins importante
que celle de la Lune (le Soleil est beaucoup plus éloigné de la
Terre que la Lune mais il a une masse beaucoup (2,4.10 6 ) plus
grande).
c) La composante sur Cx du terme des marées est proportionnelle à 3cos 2 (w i t) – 1 donc à
(avec w i = w L
ou w S ).
Les effets de la Lune et du Soleil s’additionnent quand :
cos(2w L t) = cos(2w S t) = 1 ,
c’est-à-dire quand la Terre, la Lune et le Soleil seront alignés
(pleine lune (PL) et nouvelle lune (NL)) ; ils se retranchent quand
cos(2w L t) = –1 et cos(2w S t) = 1 (ou le contraire) , c’est-àdire quand les axes CL et CS sont à 90° l’un de l’autre (premier quartier (PQ) et dernier quartier (DQ)). Dans le premier
cas, les amplitudes des marées sont importantes (marées de viveseaux), dans le second, elles sont faibles (marées de mortes-eaux).
32
1
2
cos(
)
ω i t +
(
)
||
||
,.
∆
∆
g
g
M
R
M
R
R
R
R
R
➞
➞
L
L
CL
S
CS
L
L
CL
S
S
CS
L
S
S
≈=
==
3
3
3
3
24
µ
µ
µ
µ
S
c
R S
R cs
ε
sin εε ≈=
=
2
2
R
R
R
R
L
CL
S
CS
SS
+
( ) ( )
(
)
tt u y
3cos
sin
.
ωω
➞
S
CS
T
CS
S
=
( ) −
(
)
GM
R
R
R
tu x
2
2
31 cos ω
➞
+
( ) ( )
(
)
tt u y
LL
3cos
sin
.
ωω
➞
=
( ) −
(
)
GM
R
R
R
t
u x
L
CL
T
CL
L
2
2
3
1
cos ω
➞
Étude dynamique
des anneaux de Saturne
D’après ENSTIM 2008.
1. Les anneaux de Saturne ne sont pas des solides
1 • Dans le référentiel saturnien, supposé galiléen, le théorème de la résultante cinétique appliqué au doublet de masse
2 m s’écrit :
2ma
➞
G = – G
O S M 1
— ➞ – G
O S M 2
— ➞
Soit – 2mw 2 ru
➞
r = – Gmm S
+
u
➞
r
2w 2 r = 2Gm S
.
Au premier ordre en , on obtient :
= w
2
r.
2 • Dans Sd , M 1 est soumis :
– à l’attraction de Saturne : –
u
➞
r
– à l’attraction de M 2 : +
u
➞
r
– à la force d’inertie d’entraînement : + mw 2 (r – a)u
➞
r
M 1 étant immobile dans Sd , la force d’inertie de Coriolis
est nulle.
Soit Σf
➞ = –
u
➞
r +
u
➞
r + mw
2
(r – a)u
➞
r .
f (a, r) = –
+
+ mw
2
(r – a).
f (a, r) = –
+
+ G
(r – a).
mm S
r
3
Gm
2
4a 2
Gmm S
(r – a) 2
Gm 2
4a 2
Gmm S
(r – a) 2
Gm
2
4a 2
Gmm S
(r – a) 2
Gm
2
(2a)
2
Gmm S
(r – a) 2
Gm S
r
2
a
r
r
2
+ a
2
(r
2
– a
2
)
2
1
(r + a)
2
1
(r – a)
2
mm S
O S M
3
2
mm S
O S M
3
1
10
vers le
Soleil
NL
T
PL
DQ
PQ
CORRIGÉS
Référentiels non galiléens usuels
8
109
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
➞
L
De même :
∆ g
➞
S
b) Le diamètre apparent e sous lequel on voit le Soleil ou la Lune
depuis P vérifie
, où R L et R S sont
les rayons respectifs de la Lune et du Soleil.
À t = 0:
La contribution du Soleil aux marées est loin d’être négligeable : elle est simplement environ deux fois moins importante
que celle de la Lune (le Soleil est beaucoup plus éloigné de la
Terre que la Lune mais il a une masse beaucoup (2,4.10 6 ) plus
grande).
c) La composante sur Cx du terme des marées est proportionnelle à 3cos 2 (w i t) – 1 donc à
(avec w i = w L
ou w S ).
Les effets de la Lune et du Soleil s’additionnent quand :
cos(2w L t) = cos(2w S t) = 1 ,
c’est-à-dire quand la Terre, la Lune et le Soleil seront alignés
(pleine lune (PL) et nouvelle lune (NL)) ; ils se retranchent quand
cos(2w L t) = –1 et cos(2w S t) = 1 (ou le contraire) , c’est-àdire quand les axes CL et CS sont à 90° l’un de l’autre (premier quartier (PQ) et dernier quartier (DQ)). Dans le premier
cas, les amplitudes des marées sont importantes (marées de viveseaux), dans le second, elles sont faibles (marées de mortes-eaux).
32
1
2
cos(
)
ω i t +
(
)
||
||
,.
∆
∆
g
g
M
R
M
R
R
R
R
R
➞
➞
L
L
CL
S
CS
L
L
CL
S
S
CS
L
S
S
≈=
==
3
3
3
3
24
µ
µ
µ
µ
S
c
R S
R cs
ε
sin εε ≈=
=
2
2
R
R
R
R
L
CL
S
CS
SS
+
( ) ( )
(
)
tt u y
3cos
sin
.
ωω
➞
S
CS
T
CS
S
=
( ) −
(
)
GM
R
R
R
tu x
2
2
31 cos ω
➞
+
( ) ( )
(
)
tt u y
LL
3cos
sin
.
ωω
➞
=
( ) −
(
)
GM
R
R
R
t
u x
L
CL
T
CL
L
2
2
3
1
cos ω
➞
Étude dynamique
des anneaux de Saturne
D’après ENSTIM 2008.
1. Les anneaux de Saturne ne sont pas des solides
1 • Dans le référentiel saturnien, supposé galiléen, le théorème de la résultante cinétique appliqué au doublet de masse
2 m s’écrit :
2ma
➞
G = – G
O S M 1
— ➞ – G
O S M 2
— ➞
Soit – 2mw 2 ru
➞
r = – Gmm S
+
u
➞
r
2w 2 r = 2Gm S
.
Au premier ordre en , on obtient :
= w
2
r.
2 • Dans Sd , M 1 est soumis :
– à l’attraction de Saturne : –
u
➞
r
– à l’attraction de M 2 : +
u
➞
r
– à la force d’inertie d’entraînement : + mw 2 (r – a)u
➞
r
M 1 étant immobile dans Sd , la force d’inertie de Coriolis
est nulle.
Soit Σf
➞ = –
u
➞
r +
u
➞
r + mw
2
(r – a)u
➞
r .
f (a, r) = –
+
+ mw
2
(r – a).
f (a, r) = –
+
+ G
(r – a).
mm S
r
3
Gm
2
4a 2
Gmm S
(r – a) 2
Gm 2
4a 2
Gmm S
(r – a) 2
Gm
2
4a 2
Gmm S
(r – a) 2
Gm
2
(2a)
2
Gmm S
(r – a) 2
Gm S
r
2
a
r
r
2
+ a
2
(r
2
– a
2
)
2
1
(r + a)
2
1
(r – a)
2
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O S M
3
2
mm S
O S M
3
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Soleil
NL
T
PL
DQ
PQ
CORRIGÉS
Référentiels non galiléens usuels
8
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.