initiales :
r 2
.
q = W (x 0
2 – r 2 ).
c) On peut maintenant éliminer
.
q dans l’équation radiale, ce
qui donne :
¨
r + rw 0
2 – W 2
= 0.
En multipliant par
.
r , on l’intègre en :
.
r 2 + w 0
2 (r 2 – x 0
2 ) + W 2
+ r 2 – 2x 0
2
= 0.
Les valeurs extrêmes de r, indiquées par
.
r = 0,sont solutions
de :
(x 0
2 – r 2 ) w 0
2 + W 2 – W 2
= 0
ce qui donne :
r max = x 0 et r min = x 0 5
.
d) Pour le pendule de Foucault, long d’environ 70 m,
w 0 0,37 rad.s – 1 est très supérieure à W , au plus égale à
W T = 7,5 . 10 – 5 rad. s – 1 : W
, ce qui n’est pas le cas
simulé !
Dans ces conditions, la rotation du plan d’oscillation est
lente, et l’écart au passage par le point O imperceptible.
À Paris, le plan d’oscillation d’un pendule de Foucault fait un
tour complet en environ 34 heures.
Terme des marées,
marées de vives-eaux et
marées de mortes-eaux
1 • Pour le point P, fixe dans le référentiel terrestre, on écrit
la relation fondamentale de la dynamique sous la forme:
ma
➞ (P) = O
➞ = F
➞ + m(G
➞
T (P) + G
➞
L (P) + G
➞
S (P)) – ma
➞
e (P)
où l’accélération d’entraînement est :
a
➞
e (P) = – 2 HP
— ➞ + a
➞
e (R géocentrique)
= – 2 HP
— ➞ + G
➞
L (C) + G
➞
S (C)
soit finalement :
O
➞ = F
➞ + m(G
➞
T (P) +
2 HP
— ➞ )
+ m(G
➞
L (P) – G
➞
L (C) + G
➞
S (P) – G
➞
S (C)).
• Le terme mG
➞
T (P) + mw 2 HP
— ➞ représente le poids du point P,
il est noté mg
➞
0 .
• Le terme m(G
➞
L (P) – G
➞
L (C)) est le terme de marées dû à la
Lune, on le note m∆g
➞
L .
• Le terme m(G
➞
S (P) – G
➞
S (C)) est le terme de marées dû au
Soleil, on le note m∆g
➞
S .
2 • ∆g
➞
L
= GM L
.
PL
PL 3
CL
13
13
– R CL
3
9
w 0
10
W 2
W 2 + w 0
2
x 0
2
r 2
x 0
4
r 2
x 0
4 – r 4
r 3
Sur le premier schéma ci-dessous, on a représenté par des
flèches le terme
en plusieurs points de la surface terrestre
ainsi que le terme
.
Sur le second schéma, on a simplement représenté ∆ g
➞
L . Pour
une position donnée de la Lune, les effets sont maximaux (et
égaux en module) pour les deux points diamétralement opposés
le long de la droite CL . Si on ne tient compte que de la rotation de la Terre, un même lieu sur Terre se trouvera dans la
position où les effets de marées sont maximaux deux fois par
jour : il y donc deux marées hautes (et deux marées basses) par
jour.Cependant, la Lune a un mouvement circulaire autour de
la Terre de période légèrement supérieure : les heures de marées
hautes pour deux jours consécutifs seront décalées.
3 • a) || PL
— ➞ || 2 = || PC
— ➞ || 2 + || CL
— ➞ || 2 + 2 PC
— ➞ . CL
— ➞
= R T
2 + R CL
2 – 2R T R CL cos(w L t) .
=
1 – 2
cos (w L t) +
– 3
2
au premier ordre en
;
PL
— ➞ = PC
— ➞ + CL
— ➞ , avec PC
— ➞ = – R T u
➞
x ;
CL
— ➞ = R CL (cos(w L t)u
➞
x + sin(w L t)u
➞
y ) .
On reporte ces relations dans l’expression de ∆ g
➞
L ; on obtient,
en ne conservant que les termes d’ordre 1 en
:
R T
R CL
R T
R CL
1 13
3
R
R
R
t
+
CL
T
CL
L
cos(
)
ω
R
2
T
R 2
CL
R T
R CL
1
R 3
CL
1
PL 3
y
x
P
T
C
L
L t
ω
attraction lunaire
C
L
terme différentiel
C
L
CL
R CL
3
PL
PL 3
CORRIGÉS
Référentiels non galiléens usuels
8
108
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
r 2
.
q = W (x 0
2 – r 2 ).
c) On peut maintenant éliminer
.
q dans l’équation radiale, ce
qui donne :
¨
r + rw 0
2 – W 2
= 0.
En multipliant par
.
r , on l’intègre en :
.
r 2 + w 0
2 (r 2 – x 0
2 ) + W 2
+ r 2 – 2x 0
2
= 0.
Les valeurs extrêmes de r, indiquées par
.
r = 0,sont solutions
de :
(x 0
2 – r 2 ) w 0
2 + W 2 – W 2
= 0
ce qui donne :
r max = x 0 et r min = x 0 5
.
d) Pour le pendule de Foucault, long d’environ 70 m,
w 0 0,37 rad.s – 1 est très supérieure à W , au plus égale à
W T = 7,5 . 10 – 5 rad. s – 1 : W
, ce qui n’est pas le cas
simulé !
Dans ces conditions, la rotation du plan d’oscillation est
lente, et l’écart au passage par le point O imperceptible.
À Paris, le plan d’oscillation d’un pendule de Foucault fait un
tour complet en environ 34 heures.
Terme des marées,
marées de vives-eaux et
marées de mortes-eaux
1 • Pour le point P, fixe dans le référentiel terrestre, on écrit
la relation fondamentale de la dynamique sous la forme:
ma
➞ (P) = O
➞ = F
➞ + m(G
➞
T (P) + G
➞
L (P) + G
➞
S (P)) – ma
➞
e (P)
où l’accélération d’entraînement est :
a
➞
e (P) = – 2 HP
— ➞ + a
➞
e (R géocentrique)
= – 2 HP
— ➞ + G
➞
L (C) + G
➞
S (C)
soit finalement :
O
➞ = F
➞ + m(G
➞
T (P) +
2 HP
— ➞ )
+ m(G
➞
L (P) – G
➞
L (C) + G
➞
S (P) – G
➞
S (C)).
• Le terme mG
➞
T (P) + mw 2 HP
— ➞ représente le poids du point P,
il est noté mg
➞
0 .
• Le terme m(G
➞
L (P) – G
➞
L (C)) est le terme de marées dû à la
Lune, on le note m∆g
➞
L .
• Le terme m(G
➞
S (P) – G
➞
S (C)) est le terme de marées dû au
Soleil, on le note m∆g
➞
S .
2 • ∆g
➞
L
= GM L
.
PL
PL 3
CL
13
13
– R CL
3
9
w 0
10
W 2
W 2 + w 0
2
x 0
2
r 2
x 0
4
r 2
x 0
4 – r 4
r 3
Sur le premier schéma ci-dessous, on a représenté par des
flèches le terme
en plusieurs points de la surface terrestre
ainsi que le terme
.
Sur le second schéma, on a simplement représenté ∆ g
➞
L . Pour
une position donnée de la Lune, les effets sont maximaux (et
égaux en module) pour les deux points diamétralement opposés
le long de la droite CL . Si on ne tient compte que de la rotation de la Terre, un même lieu sur Terre se trouvera dans la
position où les effets de marées sont maximaux deux fois par
jour : il y donc deux marées hautes (et deux marées basses) par
jour.Cependant, la Lune a un mouvement circulaire autour de
la Terre de période légèrement supérieure : les heures de marées
hautes pour deux jours consécutifs seront décalées.
3 • a) || PL
— ➞ || 2 = || PC
— ➞ || 2 + || CL
— ➞ || 2 + 2 PC
— ➞ . CL
— ➞
= R T
2 + R CL
2 – 2R T R CL cos(w L t) .
=
1 – 2
cos (w L t) +
– 3
2
au premier ordre en
;
PL
— ➞ = PC
— ➞ + CL
— ➞ , avec PC
— ➞ = – R T u
➞
x ;
CL
— ➞ = R CL (cos(w L t)u
➞
x + sin(w L t)u
➞
y ) .
On reporte ces relations dans l’expression de ∆ g
➞
L ; on obtient,
en ne conservant que les termes d’ordre 1 en
:
R T
R CL
R T
R CL
1 13
3
R
R
R
t
+
CL
T
CL
L
cos(
)
ω
R
2
T
R 2
CL
R T
R CL
1
R 3
CL
1
PL 3
y
x
P
T
C
L
L t
ω
attraction lunaire
C
L
terme différentiel
C
L
CL
R CL
3
PL
PL 3
CORRIGÉS
Référentiels non galiléens usuels
8
108
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.