b) Le décalage D par rapport à la ligne de plus grande pente
est :
Si sin(a – l) > 0 (donc a > l) , D > 0:l’objet est dévié vers
l’est ; si sin(a – l)<0(donc a < l) , D <0:l’objet est dévié
vers l’ouest. Dans le cas où sin(a – l) = 0 (donc a = l) ,
l’objet n’est pas dévié : le vecteur rotation de la Terre est parallèle au plan incliné, donc la force d’inertie de Coriolis est perpendiculaire au plan et sans effet sur le mouvement du point
sur le plan incliné.
Dans le cadre de cet exercice, lorsque a = l , v
➞ et W
➞ sont
parallèles à Oy : la force de Coriolis est nulle.
Remarque
Si
on retrouve le résultat classique de la «déviation
vers l’est » (cf. H-Prépa, Tout en un, 1 re année, chapitre 28).
2 • v
➞ = – 3,8 . 10 – 3 e
➞
X – 37 e
➞
Y . D = – 7 mm.
Les effets sont extrêmement faibles.
Si le tremplin est orienté sud-nord sin(l – a) devient
sin(l – b) avec b =π– a ,
soit sin(l + a – π) = – sin(a + l)
et donc v
➞ = + 2lW sin(l + a)e
➞
X
e
➞
Y
et
ce qui donne :
v
➞ = 1,4.10 – 2 e
➞
X – 37 e
➞
Y et D = 2,6 cm.
Y
Z
z
y
sud
nord
verticale
locale
Ω
α
= – α
λ
βπ
y
z
Y
Z
Ω
α
λ
λ
tremplin
– α
π
Dl
l
g
=+
+
2
3
2
W sin
sin(
),
a
al
−2 glsina
α =
π
2
,
DX tl
l
g
f
== −
−
()
sin
sin(
).
2
3
2
Ω
α
λα
Limite de roche
1 • Dans le référentiel «Cométocentrique » com , le petit
volume élémentaire de masse δm situé autour du point P est
soumis à l’attraction gravitationnelle de la comète et à celle
de Jupiter, sans oublier la force d’inertie d’entraînement, car
ce référentiel n’est pas galiléen. La relation fondamentale de
la dynamique dans com s’écrit alors :
dma
➞ (P) / com = dmG
➞
(P) + dmG
➞
(P) – dma
➞
e .
L’accélération d’entraînement est égale à l’accélération du
centre de la comète par rapport au référentiel «Jupiterocentrique » jup (les deux référentiels sont en translation l’un
par rapport à l’autre).
On applique donc la relation fondamentale de la dynamique à
la comète dans le référentiel «Jupiterocentrique »,on
obtient :
M C a
➞ (C) / Jup = M C G
➞
(C) .
On reporte dans l’équation précédente, il vient :
dma
➞ (P) / com = dmG
➞
(P) + dm(G
➞
(P) – G
➞
(C))
(le premier terme est le champ gravitationnel propre de la
comète, le second est le terme des marées).
2 • Le module de G (P) est
celui du terme des marées
est de l’ordre de :
GM J
–
2GM J (d R C ).
Dans le modèle considéré, la cohésion de la comète est assurée
si :
soit
Pour une comète donnée, il est clair que Jupiter est le pire
compagnon dans le système solaire, car le plus massif. (On
attribue d’ailleurs le volcanisme important de son satellite Io
aux fortes contraintes créées par les forces de marées jupitériennes.)
La comète et Jupiter étant supposées sphériques et homogènes :
d’où :
d lim =
3
4
2
R J ,
avec
1,25 . 10 3 kg.m –3 .
On en déduit d lim = 1,36 R J , soit environ 97 000 km (cette distance est comptée à partir du centre de Jupiter, ce qui représente environ 25 500 km à partir de la périphérie).
m
p
J
J
J
==
M
R
4
3
3
m J
m C
M
M
R
R
J
C
J
C
J
C
=
µ
µ
3
d
M
M
Rd
>=
2
3
J
C
C
lim .
GM
R
GM
R
d
C
C
C
J
2
3
2
>
,
R C
d 3
1
d 2
1
( d – R C ) 2
GM
R
C
C
2
,
5
CORRIGÉS
Référentiels non galiléens usuels
8
105
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
est :
Si sin(a – l) > 0 (donc a > l) , D > 0:l’objet est dévié vers
l’est ; si sin(a – l)<0(donc a < l) , D <0:l’objet est dévié
vers l’ouest. Dans le cas où sin(a – l) = 0 (donc a = l) ,
l’objet n’est pas dévié : le vecteur rotation de la Terre est parallèle au plan incliné, donc la force d’inertie de Coriolis est perpendiculaire au plan et sans effet sur le mouvement du point
sur le plan incliné.
Dans le cadre de cet exercice, lorsque a = l , v
➞ et W
➞ sont
parallèles à Oy : la force de Coriolis est nulle.
Remarque
Si
on retrouve le résultat classique de la «déviation
vers l’est » (cf. H-Prépa, Tout en un, 1 re année, chapitre 28).
2 • v
➞ = – 3,8 . 10 – 3 e
➞
X – 37 e
➞
Y . D = – 7 mm.
Les effets sont extrêmement faibles.
Si le tremplin est orienté sud-nord sin(l – a) devient
sin(l – b) avec b =π– a ,
soit sin(l + a – π) = – sin(a + l)
et donc v
➞ = + 2lW sin(l + a)e
➞
X
e
➞
Y
et
ce qui donne :
v
➞ = 1,4.10 – 2 e
➞
X – 37 e
➞
Y et D = 2,6 cm.
Y
Z
z
y
sud
nord
verticale
locale
Ω
α
= – α
λ
βπ
y
z
Y
Z
Ω
α
λ
λ
tremplin
– α
π
Dl
l
g
=+
+
2
3
2
W sin
sin(
),
a
al
−2 glsina
α =
π
2
,
DX tl
l
g
f
== −
−
()
sin
sin(
).
2
3
2
Ω
α
λα
Limite de roche
1 • Dans le référentiel «Cométocentrique » com , le petit
volume élémentaire de masse δm situé autour du point P est
soumis à l’attraction gravitationnelle de la comète et à celle
de Jupiter, sans oublier la force d’inertie d’entraînement, car
ce référentiel n’est pas galiléen. La relation fondamentale de
la dynamique dans com s’écrit alors :
dma
➞ (P) / com = dmG
➞
(P) + dmG
➞
(P) – dma
➞
e .
L’accélération d’entraînement est égale à l’accélération du
centre de la comète par rapport au référentiel «Jupiterocentrique » jup (les deux référentiels sont en translation l’un
par rapport à l’autre).
On applique donc la relation fondamentale de la dynamique à
la comète dans le référentiel «Jupiterocentrique »,on
obtient :
M C a
➞ (C) / Jup = M C G
➞
(C) .
On reporte dans l’équation précédente, il vient :
dma
➞ (P) / com = dmG
➞
(P) + dm(G
➞
(P) – G
➞
(C))
(le premier terme est le champ gravitationnel propre de la
comète, le second est le terme des marées).
2 • Le module de G (P) est
celui du terme des marées
est de l’ordre de :
GM J
–
2GM J (d R C ).
Dans le modèle considéré, la cohésion de la comète est assurée
si :
soit
Pour une comète donnée, il est clair que Jupiter est le pire
compagnon dans le système solaire, car le plus massif. (On
attribue d’ailleurs le volcanisme important de son satellite Io
aux fortes contraintes créées par les forces de marées jupitériennes.)
La comète et Jupiter étant supposées sphériques et homogènes :
d’où :
d lim =
3
4
2
R J ,
avec
1,25 . 10 3 kg.m –3 .
On en déduit d lim = 1,36 R J , soit environ 97 000 km (cette distance est comptée à partir du centre de Jupiter, ce qui représente environ 25 500 km à partir de la périphérie).
m
p
J
J
J
==
M
R
4
3
3
m J
m C
M
M
R
R
J
C
J
C
J
C
=
µ
µ
3
d
M
M
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>=
2
3
J
C
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GM
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R
d
C
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J
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,
R C
d 3
1
d 2
1
( d – R C ) 2
GM
R
C
C
2
,
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CORRIGÉS
Référentiels non galiléens usuels
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La photocopie non autorisée est un délit.