Ces équations s’intègrent en :
·
x = – 2W cosl v 0 t –
g
2
t 2
·
y = 0
·
z = – gt + v 0
puis en :
x = – 2W cosl
v 0
2
t
2
–
g
6
t 3
y = 0
z = –
g
2
t 2
+ v 0 t .
Quand la fusée retombe sur le sol, z = 0 , donc :
et
On remarque que l’abscisse du point de chute de la fusée est
négative : la fusée retombe à l’ouest de son point de départ. La
force de Coriolis est orientée vers l’ouest à la montée, vers l’est
à la descente.
4 • a) x = – 1,5 cm est beaucoup plus faible que h = 39,4 m:
la force d’inertie de Coriolis a une influence faible sur le mouvement de la fusée.
b) v 0 = 689,8 km.h – 1 . Pour que l’effet de la force d’inertie
de Coriolis soit significatif, il faut lancer la fusée avec une
grande vitesse initiale.
h ≈ 1 870 m. La hauteur atteinte par la fusée est beaucoup
plus importante ici (on peut cependant toujours considérer
le champ de pesanteur comme uniforme, sa variation par rapport à sa valeur au niveau du sol, à 2 km d’altitude est d’environ 0,06 %).
Dans la réalité, compte tenu de la résistance et des mouvements
de l’air, la validité des applications numériques précédentes est
discutable !
Chute d’un point sur un plan
incliné dans le référentiel terrestre
1 • La relation fondamentale de la dynamique,
appliquée à l’objet, dans le référentiel terrestre s’écrit
ma
➞ = mg
➞ + R
➞ – 2mW
➞ ∧ v
➞ , où R
➞ est la réaction du tremplin
sur l’objet. On utilise comme base de projection la base
(e
➞
X , e
➞
Y , e
➞
Z ) , où e
➞
X et e
➞
Y appartiennent au plan incliné et où
e
➞
Z lui est perpendiculaire.
z
y
Y
H
Z
B
X
x
sud
verticale
locale
nord
est
Ω
α
λ
t r e m p l i n
g
4
x
g
=−
4
3
0
3
2
Ωcos
.
λ
v
t
g
=
2 0
v
Dans cette base, g
➞ = – g(sinae
➞
Y + cosae
➞
Z ) et
W
➞ = W(cos(l – a)e
➞
Y + sin(l – a)e
➞
Z ) .
Le point se déplace sur le plan incliné donc sa cote Z est constamment nulle. La relation fondamentale de la dynamique, en
projection sur (OXYZ), donne les équations suivantes :
À l’ordre zéro, c’est-à-dire en négligeant les termes en W
(l’effet de la force de Coriolis est faible), ces équations deviennent :
À l’ordre 1, pour obtenir les lois X(t) , Y(t) , Z(t) , on reporte les
expressions de
·
X ,
·
Y et
·
Z dans les termes en W (donc du premier ordre) des équations du mouvement.
La première équation est à cet ordre la seule modifiée :
¨
X = – 2gt W sin(l – a) sina
ce qui donne
·
X = – gt 2 Wsin(l – a)sina ,
puis
W sin(l – a)sina .
Quand l’objet arrive au point B , Y = 0 , donc :
a) Le vecteur vitesse du point est, au premier ordre en W, en
bas du tremplin :
v
➞
➞
➞
=−
−−
2
2
le
gl
e
X
Y
Ω sin(
)s in
.
λα
α
tt
l
g
f
==
2
sin
.
α
X
gt
=−
3
3
+
X
Y
g t
Rm g
sin
cos .
=
=−
=
0
2
2
α
α
et enfin
X
Yg t
Rm g
•
•
sin
cos
=
=−
=
0
α
α
puis
X
Yg
mg
R
••
••
sin
cos
=
=−
=−
+
0
0
α
α
,
mX
mY
mY
mg
mX
mg
Rm
X
••
•
••
•
•
sin(
)
sin
sin(
)
cos
cos(
).
=−
=−
−−
=−
++
−
2
2
0
2
Ω
Ω
Ω
λα
αλ α
α
λ α
y
Y
Z
O
Ω
λ
λ
z
x
α
CORRIGÉS
Référentiels non galiléens usuels
8
104
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
·
x = – 2W cosl v 0 t –
g
2
t 2
·
y = 0
·
z = – gt + v 0
puis en :
x = – 2W cosl
v 0
2
t
2
–
g
6
t 3
y = 0
z = –
g
2
t 2
+ v 0 t .
Quand la fusée retombe sur le sol, z = 0 , donc :
et
On remarque que l’abscisse du point de chute de la fusée est
négative : la fusée retombe à l’ouest de son point de départ. La
force de Coriolis est orientée vers l’ouest à la montée, vers l’est
à la descente.
4 • a) x = – 1,5 cm est beaucoup plus faible que h = 39,4 m:
la force d’inertie de Coriolis a une influence faible sur le mouvement de la fusée.
b) v 0 = 689,8 km.h – 1 . Pour que l’effet de la force d’inertie
de Coriolis soit significatif, il faut lancer la fusée avec une
grande vitesse initiale.
h ≈ 1 870 m. La hauteur atteinte par la fusée est beaucoup
plus importante ici (on peut cependant toujours considérer
le champ de pesanteur comme uniforme, sa variation par rapport à sa valeur au niveau du sol, à 2 km d’altitude est d’environ 0,06 %).
Dans la réalité, compte tenu de la résistance et des mouvements
de l’air, la validité des applications numériques précédentes est
discutable !
Chute d’un point sur un plan
incliné dans le référentiel terrestre
1 • La relation fondamentale de la dynamique,
appliquée à l’objet, dans le référentiel terrestre s’écrit
ma
➞ = mg
➞ + R
➞ – 2mW
➞ ∧ v
➞ , où R
➞ est la réaction du tremplin
sur l’objet. On utilise comme base de projection la base
(e
➞
X , e
➞
Y , e
➞
Z ) , où e
➞
X et e
➞
Y appartiennent au plan incliné et où
e
➞
Z lui est perpendiculaire.
z
y
Y
H
Z
B
X
x
sud
verticale
locale
nord
est
Ω
α
λ
t r e m p l i n
g
4
x
g
=−
4
3
0
3
2
Ωcos
.
λ
v
t
g
=
2 0
v
Dans cette base, g
➞ = – g(sinae
➞
Y + cosae
➞
Z ) et
W
➞ = W(cos(l – a)e
➞
Y + sin(l – a)e
➞
Z ) .
Le point se déplace sur le plan incliné donc sa cote Z est constamment nulle. La relation fondamentale de la dynamique, en
projection sur (OXYZ), donne les équations suivantes :
À l’ordre zéro, c’est-à-dire en négligeant les termes en W
(l’effet de la force de Coriolis est faible), ces équations deviennent :
À l’ordre 1, pour obtenir les lois X(t) , Y(t) , Z(t) , on reporte les
expressions de
·
X ,
·
Y et
·
Z dans les termes en W (donc du premier ordre) des équations du mouvement.
La première équation est à cet ordre la seule modifiée :
¨
X = – 2gt W sin(l – a) sina
ce qui donne
·
X = – gt 2 Wsin(l – a)sina ,
puis
W sin(l – a)sina .
Quand l’objet arrive au point B , Y = 0 , donc :
a) Le vecteur vitesse du point est, au premier ordre en W, en
bas du tremplin :
v
➞
➞
➞
=−
−−
2
2
le
gl
e
X
Y
Ω sin(
)s in
.
λα
α
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==
2
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.
α
X
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=−
3
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+
X
Y
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Rm g
sin
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=
=−
=
0
2
2
α
α
et enfin
X
Yg t
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•
•
sin
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=−
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0
α
α
puis
X
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mg
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••
••
sin
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=−
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α
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,
mX
mY
mY
mg
mX
mg
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X
••
•
••
•
•
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)
sin
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)
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=−
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2
2
0
2
Ω
Ω
Ω
λα
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α
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Y
Z
O
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λ
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z
x
α
CORRIGÉS
Référentiels non galiléens usuels
8
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La photocopie non autorisée est un délit.