Si la terre tournait plus vite…
1 • Dans le référentiel terrestre, le champ de pesanteur en un
point M est composé de deux termes : l’interaction gravitationnelle massique – GM T
et la force d’inertie d’entraînement massique W 2 HM
— ➞ (H , la projection de M sur l’axe
de rotation terrestre sud-nord, et W la vitesse de rotation de
la Terre sur elle-même) :
g
➞
(M) = – GM T
+ W 2 HM
— ➞ .
Si le point M est à l’équateur, H = O (où O est le centre
de la Terre), ce qui donne :
g(M) = – G
O
M
M
T
2
+ W 2 OM ;
si M est de plus un point à la surface de la Terre OM = R T ,
rayon de la Terre.
Si on appelle g 0 l’interaction gravitationnelle massique (accélération de la pesanteur à la surface de la Terre au pôle Nord!),
il n’y a pas de pesanteur à l’équateur si :
0 = – g 0 + W 2 R T ⇔
1
= 1,24 . 10 –3 rad.s –1 .
La durée d’un jour serait donc de 5 075 s, c’est-à-dire de
1 h 25 min. Cette durée est égale au temps que mettrait un satellite terrestre pour décrire une trajectoire circulaire de rayon R T .
Influence de la force de Coriolis
terrestre sur la conduite d’une
moto
1 • F
➞
ic = – 2mW
➞ ∧ v
➞
/ T
avec, dans le référentiel terrestre
local : W
➞ = W(sinl e
➞
z + cosl e
➞
y ) et v
➞
/ T
= –ve
➞
y , donc :
F
➞
ic = –2mWsinlve
➞
x
elle est dirigée vers l’ouest.
A.N. : F ic 3 N << mg ≈ 4 kN.
x
P
Ω
λ
z
y
λ
2
g 0
R T
OM
OM 3
OM
OM 3
1
2 • Quand le motard roule à vitesse constante, la somme des
forces qui agissent sur lui dans le référentiel terrestre est nulle :
R
➞ + mg
➞ + F
➞
ic = 0
➞ .Si on appelle a l’angle que fait la moto
avec la verticale, la projection sur la direction orthogonale à la
moto de cette équation s’écrit : mgsina = 2mW sin l v cosa .
On en déduit :
A.N. : a 0,03° 2′ d’arc.
Ces calculs restent très théoriques : le moindre coup de vent
aura une influence beaucoup plus importante sur l’équilibre
de la moto que la force de Coriolis qui reste, même à vitesse
élevée, un terme correctif avant tout.
Lancement vertical d’une fusée
1 • Dans le référentiel terrestre local, la relation fondamentale de la dynamique appliquée à la fusée s’écrit :
ma
➞ (M) = mg
➞ + F
➞
ic = mg
➞ – 2mW
➞ ∧ v
➞
(M) .
En projection sur e
➞
x , e
➞
y et e
➞
z (dirigés respectivement vers l’est,
le nord et le zénith, voir l’Essentiel), cette équation s’écrit :
¨
x = – 2W(cosl ·
z – sinl ·
y)
¨
y = – 2W sinl ·
x
(1)
¨
z = – g + 2W cosl ·
x
À l’ordre 0, c’est-à-dire en négligeant les termes en W (l’effet
de la force de Coriolis est faible), on obtient la solution classique d’un point en mouvement dans le champ de pesanteur
(uniforme) :
·
x = 0 , ·
y = 0 , ·
z = – gt + v 0 (vitesse à l’ordre 0),
puis :
x = 0, y = 0, z = – g + v 0 t .
2 • La fusée atteint sa hauteur maximale h à l’instant :
, d’où
3 • Pour obtenir les lois x(t) , y(t)e t z(t)à l’ordre 1, on
reporte les expressions de ·
x , ·
y et ·
z à l’ordre 0 dans les équations du mouvement (1). On obtient alors :
m¨ x = – 2W cosl (v 0 – gt )
m¨ y = 0
m¨ z = – mg
Remarque
Seule l’équation sur l’axe (Px) est changée : la vitesse à l’ordre
0 est dirigée selon la verticale (Pz) donc, au premier ordre, la
force de Coriolis est dirigée selon l’axe (Px)(le vecteur rotation de la Terre est dans le plan (Pyz)). En particulier, la hauteur maximale atteinte par la fusée est celle de la question 2).
h
g
=
v 0
2
2
.
t g
z
==
v 0
0
()
•
t 2
2
3
tan
sin
.
α
λ
= 2
Ω
v
g
103
Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • Dans le référentiel terrestre, le champ de pesanteur en un
point M est composé de deux termes : l’interaction gravitationnelle massique – GM T
et la force d’inertie d’entraînement massique W 2 HM
— ➞ (H , la projection de M sur l’axe
de rotation terrestre sud-nord, et W la vitesse de rotation de
la Terre sur elle-même) :
g
➞
(M) = – GM T
+ W 2 HM
— ➞ .
Si le point M est à l’équateur, H = O (où O est le centre
de la Terre), ce qui donne :
g(M) = – G
O
M
M
T
2
+ W 2 OM ;
si M est de plus un point à la surface de la Terre OM = R T ,
rayon de la Terre.
Si on appelle g 0 l’interaction gravitationnelle massique (accélération de la pesanteur à la surface de la Terre au pôle Nord!),
il n’y a pas de pesanteur à l’équateur si :
0 = – g 0 + W 2 R T ⇔
1
= 1,24 . 10 –3 rad.s –1 .
La durée d’un jour serait donc de 5 075 s, c’est-à-dire de
1 h 25 min. Cette durée est égale au temps que mettrait un satellite terrestre pour décrire une trajectoire circulaire de rayon R T .
Influence de la force de Coriolis
terrestre sur la conduite d’une
moto
1 • F
➞
ic = – 2mW
➞ ∧ v
➞
/ T
avec, dans le référentiel terrestre
local : W
➞ = W(sinl e
➞
z + cosl e
➞
y ) et v
➞
/ T
= –ve
➞
y , donc :
F
➞
ic = –2mWsinlve
➞
x
elle est dirigée vers l’ouest.
A.N. : F ic 3 N << mg ≈ 4 kN.
x
P
Ω
λ
z
y
λ
2
g 0
R T
OM
OM 3
OM
OM 3
1
2 • Quand le motard roule à vitesse constante, la somme des
forces qui agissent sur lui dans le référentiel terrestre est nulle :
R
➞ + mg
➞ + F
➞
ic = 0
➞ .Si on appelle a l’angle que fait la moto
avec la verticale, la projection sur la direction orthogonale à la
moto de cette équation s’écrit : mgsina = 2mW sin l v cosa .
On en déduit :
A.N. : a 0,03° 2′ d’arc.
Ces calculs restent très théoriques : le moindre coup de vent
aura une influence beaucoup plus importante sur l’équilibre
de la moto que la force de Coriolis qui reste, même à vitesse
élevée, un terme correctif avant tout.
Lancement vertical d’une fusée
1 • Dans le référentiel terrestre local, la relation fondamentale de la dynamique appliquée à la fusée s’écrit :
ma
➞ (M) = mg
➞ + F
➞
ic = mg
➞ – 2mW
➞ ∧ v
➞
(M) .
En projection sur e
➞
x , e
➞
y et e
➞
z (dirigés respectivement vers l’est,
le nord et le zénith, voir l’Essentiel), cette équation s’écrit :
¨
x = – 2W(cosl ·
z – sinl ·
y)
¨
y = – 2W sinl ·
x
(1)
¨
z = – g + 2W cosl ·
x
À l’ordre 0, c’est-à-dire en négligeant les termes en W (l’effet
de la force de Coriolis est faible), on obtient la solution classique d’un point en mouvement dans le champ de pesanteur
(uniforme) :
·
x = 0 , ·
y = 0 , ·
z = – gt + v 0 (vitesse à l’ordre 0),
puis :
x = 0, y = 0, z = – g + v 0 t .
2 • La fusée atteint sa hauteur maximale h à l’instant :
, d’où
3 • Pour obtenir les lois x(t) , y(t)e t z(t)à l’ordre 1, on
reporte les expressions de ·
x , ·
y et ·
z à l’ordre 0 dans les équations du mouvement (1). On obtient alors :
m¨ x = – 2W cosl (v 0 – gt )
m¨ y = 0
m¨ z = – mg
Remarque
Seule l’équation sur l’axe (Px) est changée : la vitesse à l’ordre
0 est dirigée selon la verticale (Pz) donc, au premier ordre, la
force de Coriolis est dirigée selon l’axe (Px)(le vecteur rotation de la Terre est dans le plan (Pyz)). En particulier, la hauteur maximale atteinte par la fusée est celle de la question 2).
h
g
=
v 0
2
2
.
t g
z
==
v 0
0
()
•
t 2
2
3
tan
sin
.
α
λ
= 2
Ω
v
g
103
Corrigés
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La photocopie non autorisée est un délit.