©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Le référentiel saturno-Pan SP est en rotation uniforme
autour du référentiel saturnien, suiveur du mouvement de
Pan, dans lequel O S et O P restent fixes. On considère
deux petits rochers A et B encore présents dans cette
bande et tournant dans le même sens (cf. figure 3). A est
en orbite circulaire de rayon r A légèrement inférieur à
r P , B est en orbite circulaire de rayon r B légèrement
supérieur à r P .
1 • Montrer que plus le rayon de l’orbite circulaire d’un
corps satellisé autour de Saturne est grand, plus sa vitesse
le long de son orbite est faible.
2 • Tracer, sur la figure 3. a), dans le référentiel saturnien,
l’allure des vecteurs vitesses des centres des trois corps
(l’échelle est arbitraire).
3 • En déduire, dans le référentiel SP , l’allure des vecteurs vitesses de A et de B et les tracer sur la figure 3.b).
4 • En déduire pourquoi A et B ne pourront rester sur
leur orbite, et pourquoi on dit que Pan «nettoie » la bande
décrite par sa trajectoire en dessinant une division dans les
anneaux.
Pan
B
Figure 3
A
Pan
B
A
Figure 3.a
Référentiel saturnien
Référentiel saturno-Pan
Figure 3.b
division
Pan
2 • Faire l’inventaire de toutes les forces subies par M 1
dans Sd et montrer que leur somme vectorielle peut
s’écrire Σf
➞ = f (a, r)u
➞
r : on donnera l’expression de f (a, r)
comme une fonction des variables a et r et des paramètres
Γ, m et m S .
Montrer par un développement limité au premier ordre en
que cette fonction a pour valeur approchée :
f (a, r) =
–
. Il y aura dislocation progressive de l’anneau si la résultante des forces a tendance à
éloigner M 2 de M 1 , donc si f (a, r) 0.
3 • Montrer que cette condition se traduit par l’existence
d’une valeur minimale r 0 de r (on l’appelle limite de
Roche) ne dépendant que de m S et de m =
. On donne
m = 720 kg . m
–3
. Déduire de ce qui précède un ordre de
grandeur de r 0 . Conclure en considérant que les anneaux
ont un rayon de l’ordre de 10
8
m.
Dans ce qui suit, on assimile tous les corps autour de
Saturne à des petits et moyens blocs solides indépendants
en orbite circulaire et on néglige toutes les forces d’interaction entre eux devant l’attraction gravitationnelle de la
planète.
2. Divisions des anneaux
Les anneaux sont divisés : la première division fut observée par Cassini qui détecta le premier une bande circulaire vide de blocs, et découpant ainsi «l’anneau » en deux
anneaux distincts (cette division est encore appelée division Cassini). On en a détecté un très grand nombre
depuis.
On s’intéresse ici à la division observée sur le rayon orbital d’un petit satellite sphérique, Pan, de centre O P , de
rayon R P , et de rayon orbital r P = O S O P .
m
a
3
3Gm S ma
r 3
Gm 2
4a 2
a
r
EXERCICES
Référentiels non galiléens usuels
8
102
La photocopie non autorisée est un délit.
Le référentiel saturno-Pan SP est en rotation uniforme
autour du référentiel saturnien, suiveur du mouvement de
Pan, dans lequel O S et O P restent fixes. On considère
deux petits rochers A et B encore présents dans cette
bande et tournant dans le même sens (cf. figure 3). A est
en orbite circulaire de rayon r A légèrement inférieur à
r P , B est en orbite circulaire de rayon r B légèrement
supérieur à r P .
1 • Montrer que plus le rayon de l’orbite circulaire d’un
corps satellisé autour de Saturne est grand, plus sa vitesse
le long de son orbite est faible.
2 • Tracer, sur la figure 3. a), dans le référentiel saturnien,
l’allure des vecteurs vitesses des centres des trois corps
(l’échelle est arbitraire).
3 • En déduire, dans le référentiel SP , l’allure des vecteurs vitesses de A et de B et les tracer sur la figure 3.b).
4 • En déduire pourquoi A et B ne pourront rester sur
leur orbite, et pourquoi on dit que Pan «nettoie » la bande
décrite par sa trajectoire en dessinant une division dans les
anneaux.
Pan
B
Figure 3
A
Pan
B
A
Figure 3.a
Référentiel saturnien
Référentiel saturno-Pan
Figure 3.b
division
Pan
2 • Faire l’inventaire de toutes les forces subies par M 1
dans Sd et montrer que leur somme vectorielle peut
s’écrire Σf
➞ = f (a, r)u
➞
r : on donnera l’expression de f (a, r)
comme une fonction des variables a et r et des paramètres
Γ, m et m S .
Montrer par un développement limité au premier ordre en
que cette fonction a pour valeur approchée :
f (a, r) =
–
. Il y aura dislocation progressive de l’anneau si la résultante des forces a tendance à
éloigner M 2 de M 1 , donc si f (a, r) 0.
3 • Montrer que cette condition se traduit par l’existence
d’une valeur minimale r 0 de r (on l’appelle limite de
Roche) ne dépendant que de m S et de m =
. On donne
m = 720 kg . m
–3
. Déduire de ce qui précède un ordre de
grandeur de r 0 . Conclure en considérant que les anneaux
ont un rayon de l’ordre de 10
8
m.
Dans ce qui suit, on assimile tous les corps autour de
Saturne à des petits et moyens blocs solides indépendants
en orbite circulaire et on néglige toutes les forces d’interaction entre eux devant l’attraction gravitationnelle de la
planète.
2. Divisions des anneaux
Les anneaux sont divisés : la première division fut observée par Cassini qui détecta le premier une bande circulaire vide de blocs, et découpant ainsi «l’anneau » en deux
anneaux distincts (cette division est encore appelée division Cassini). On en a détecté un très grand nombre
depuis.
On s’intéresse ici à la division observée sur le rayon orbital d’un petit satellite sphérique, Pan, de centre O P , de
rayon R P , et de rayon orbital r P = O S O P .
m
a
3
3Gm S ma
r 3
Gm 2
4a 2
a
r
EXERCICES
Référentiels non galiléens usuels
8
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