Pourquoi s’amarrer
à la navette spatiale ?
1 • Pour le vaisseau, satellite de masse m gravitant autour de
la planète, le mouvement circulaire impose la relation :
mRW
2 = G
m
R
M
2
,s oit :
W =
3
4 .
Pour W = 2π/(2 heures) autour de la Terre, il vient :
R = 8 080 km, soit une altitude h = 1 680 km .
2 • Dans le référentiel tournant à vitesse angulaire
W
➞ = We
➞
z constante, on doit tenir compte des forces d’inertie
d’entraînement et de Coriolis :
F ie
➞ = – ma
➞
e = mW
2
CM
— ➞ = mW
2
((R + x)e
➞
x + ye
➞
y + ze
➞
z ),
F ic
➞ = – 2mW
➞ ∧ v
➞ = 2mW ( ·
ye
➞
x – ·
xe
➞
y ).
Le cosmonaute est aussi soumis à l’attraction gravitationnelle de la planète :
F
➞ = – GmM
= – GmM
= – mR
3
W
2
Son mouvement est donc régi par les équations :
¨
x = 2W ·
y + W 2 (R + x) – R 3 W 2
¨
y = – 2W ·
x + W 2 y – R 3 W 2
¨
z = W 2 z – R 3 W 2
3 • Le terme gravitationnel annule pratiquement l’effet de la
force d’inertie d’entraînement (terme de marée), un développement à l’ordre 1 en x/R, y/R et z/R nous donne alors :
¨
x = 2W ·
y + 3W 2 x
¨
y = – 2W ·
x
¨
z = 0
4 • Le mouvement du cosmonaute selon l’axe (Oz) est clairement instable : z = z 0 + v 0 z t . Rien ne vient compenser une
quelconque vitesse initiale dans cette direction (à l’approximation linéaire).
5 • L’équation du mouvement sur (Oy) s’intègre en :
·
y(t) = ·
y 0 −2W [x(t) − x 0 ]
que l’on reporte dans l’équation sur (Ox):
¨
x+ W
2 x = 2W ·
y 0 + 4W 2 x 0
z
(R + x)
2
+ y
2
+ z
2
3
2
y
(R + x)
2
+ y
2
+ z
2
3
2
(R + x)
(R + x)
2
+ y
2
+ z
2
3
2
(R + x)e
➞
x + ye
➞
y + ze
➞
z
((R + x)
2
+ y
2
+ z
2
)
3
2
(R + x)e
➞
x + ye
➞
y + ze
➞
z
((R + x)
2
+ y
2
+ z
2
)
3
2
CM
— ➞
CM 3
g 0 R
2
T
R 3
GM
R 3
6
que l’on intègre en :
x(t) = x 0 + 3x 0 + (1 – cosWt) + sinWt
L’expression de y(t) est alors :
y(t) = y 0 – 3(2x 0 W + ·
y 0 )t – 2 3x 0 + sinWt
–2
(1 – cosWt)
6 • Avec ·
x 0 seule non nulle, il vient :
x(t) =
sinWt et y(t) = –( 1 – cosWt)
de sorte que la trajectoire est une ellipse de centre 0, ,
décrit à pulsation W : le terme différentiel tend à éloigner le
cosmonaute, mais l’effet de la force de Coriolis le ramène à
son point de départ.
7 • Avec x 0 seule non nulle, on a cette fois :
x(t) = x 0 + 3x 0 (1 – cosWt) et y(t) = – 6x 0 Wt – 6x 0 sinWt .
À un mouvement périodique se superpose ici un effet de dérive parallèlement à l’axe (Oy) : le cosmonaute dérive inexorablement loin de son vaisseau. Le câble d’amarrage est tout
à fait nécessaire.
Remarque : On peut se demander si l’attraction gravitationnelle exercée par le vaisseau sur le cosmonaute peut éviter
cette catastrophe : à 10 mètres d’un vaisseau de 40 tonnes, la
force de gravitation est de l’ordre de 2,7.10
–8 N par kg de
cosmonaute, alors qu’avec x 0 =10 m, on a W
2
x0 de l’ordre de
7,6.10 –6 N.kg - 1 , nettement supérieure.
«Visualisation » de la rotation
du pendule de Foucault
1 • A décrit un cercle de rayon r A = R T cos l – L sin l à
vitesse angulaire W
➞
T autour de l’axe des pôles, donc :
v
➞
A = (R T cosl – L sinl)W T e
➞
x .
De même, on a:
v
➞
B = (R T cosl + L sinl)W T e
➞
x .
T
L
L
u
V A
u V B
R T
r A
r B
7
2 ·
x 0
W
2 ·
x 0
W
·
x 0
W
·
x 0
W
2 ·
y 0
W
·
x 0
W
2 ·
y 0
W
CORRIGÉS
Référentiels non galiléens usuels
8
106
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
à la navette spatiale ?
1 • Pour le vaisseau, satellite de masse m gravitant autour de
la planète, le mouvement circulaire impose la relation :
mRW
2 = G
m
R
M
2
,s oit :
W =
3
4 .
Pour W = 2π/(2 heures) autour de la Terre, il vient :
R = 8 080 km, soit une altitude h = 1 680 km .
2 • Dans le référentiel tournant à vitesse angulaire
W
➞ = We
➞
z constante, on doit tenir compte des forces d’inertie
d’entraînement et de Coriolis :
F ie
➞ = – ma
➞
e = mW
2
CM
— ➞ = mW
2
((R + x)e
➞
x + ye
➞
y + ze
➞
z ),
F ic
➞ = – 2mW
➞ ∧ v
➞ = 2mW ( ·
ye
➞
x – ·
xe
➞
y ).
Le cosmonaute est aussi soumis à l’attraction gravitationnelle de la planète :
F
➞ = – GmM
= – GmM
= – mR
3
W
2
Son mouvement est donc régi par les équations :
¨
x = 2W ·
y + W 2 (R + x) – R 3 W 2
¨
y = – 2W ·
x + W 2 y – R 3 W 2
¨
z = W 2 z – R 3 W 2
3 • Le terme gravitationnel annule pratiquement l’effet de la
force d’inertie d’entraînement (terme de marée), un développement à l’ordre 1 en x/R, y/R et z/R nous donne alors :
¨
x = 2W ·
y + 3W 2 x
¨
y = – 2W ·
x
¨
z = 0
4 • Le mouvement du cosmonaute selon l’axe (Oz) est clairement instable : z = z 0 + v 0 z t . Rien ne vient compenser une
quelconque vitesse initiale dans cette direction (à l’approximation linéaire).
5 • L’équation du mouvement sur (Oy) s’intègre en :
·
y(t) = ·
y 0 −2W [x(t) − x 0 ]
que l’on reporte dans l’équation sur (Ox):
¨
x+ W
2 x = 2W ·
y 0 + 4W 2 x 0
z
(R + x)
2
+ y
2
+ z
2
3
2
y
(R + x)
2
+ y
2
+ z
2
3
2
(R + x)
(R + x)
2
+ y
2
+ z
2
3
2
(R + x)e
➞
x + ye
➞
y + ze
➞
z
((R + x)
2
+ y
2
+ z
2
)
3
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(R + x)e
➞
x + ye
➞
y + ze
➞
z
((R + x)
2
+ y
2
+ z
2
)
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2
CM
— ➞
CM 3
g 0 R
2
T
R 3
GM
R 3
6
que l’on intègre en :
x(t) = x 0 + 3x 0 + (1 – cosWt) + sinWt
L’expression de y(t) est alors :
y(t) = y 0 – 3(2x 0 W + ·
y 0 )t – 2 3x 0 + sinWt
–2
(1 – cosWt)
6 • Avec ·
x 0 seule non nulle, il vient :
x(t) =
sinWt et y(t) = –( 1 – cosWt)
de sorte que la trajectoire est une ellipse de centre 0, ,
décrit à pulsation W : le terme différentiel tend à éloigner le
cosmonaute, mais l’effet de la force de Coriolis le ramène à
son point de départ.
7 • Avec x 0 seule non nulle, on a cette fois :
x(t) = x 0 + 3x 0 (1 – cosWt) et y(t) = – 6x 0 Wt – 6x 0 sinWt .
À un mouvement périodique se superpose ici un effet de dérive parallèlement à l’axe (Oy) : le cosmonaute dérive inexorablement loin de son vaisseau. Le câble d’amarrage est tout
à fait nécessaire.
Remarque : On peut se demander si l’attraction gravitationnelle exercée par le vaisseau sur le cosmonaute peut éviter
cette catastrophe : à 10 mètres d’un vaisseau de 40 tonnes, la
force de gravitation est de l’ordre de 2,7.10
–8 N par kg de
cosmonaute, alors qu’avec x 0 =10 m, on a W
2
x0 de l’ordre de
7,6.10 –6 N.kg - 1 , nettement supérieure.
«Visualisation » de la rotation
du pendule de Foucault
1 • A décrit un cercle de rayon r A = R T cos l – L sin l à
vitesse angulaire W
➞
T autour de l’axe des pôles, donc :
v
➞
A = (R T cosl – L sinl)W T e
➞
x .
De même, on a:
v
➞
B = (R T cosl + L sinl)W T e
➞
x .
T
L
L
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V A
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R T
r A
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x 0
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x 0
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·
x 0
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2 ·
y 0
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·
x 0
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2 ·
y 0
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CORRIGÉS
Référentiels non galiléens usuels
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La photocopie non autorisée est un délit.