©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
**Pourquoi s’amarrer
à la navette spatiale ?
Un vaisseau est en orbite circulaire de rayon R autour
d’une planète, à la vitesse angulaire W
➞ = W e
➞
z .
Un cosmonaute effectuant une sortie est au point O , relié
au vaisseau par un câble d’amarrage.
Pour les applications numériques, on prendra une période
de révolution de 2 heures autour de la Terre, de masse M .
On rappelle que g 0 , champ de pesanteur terrestre à la surface de la planète, de rayon R T = 6400 km , vaut environ
9,81 m . s
− 2
.
1 • Quelle est la relation liant la vitesse angulaire W , la
constante de gravitation G , la masse M de la planète, et
le rayon R de l’orbite ? Déterminer numériquement l’altitude de l’orbite.
2 • Établir les équations du mouvement du cosmonaute
dans le repère (O, x, y, z).
3 • Par quel terme la force d’inertie d’entraînement estelle pratiquement compensée ? Développer alors le terme
différentiel identifié à l’ordre linéaire en x/R, y/R et z/R ,
et simplifier les équations du mouvement.
4 • Le mouvement du cosmonaute selon l’axe (Oz) apparaît-il stable ?
5 • Les valeurs x 0 , y 0 , ·
x 0 et ·
y 0 et initiales étant données,
déterminer les expressions de x(t) et y(t).
6 • Le cosmonaute part de O avec une petite vitesse
radiale : ·
x 0 est seule non nulle. Va -t-il s’éloigner indéfiniment de son vaisseau ?
7 • Le cosmonaute n’a pas de vitesse relative initiale, mais
perd le contact avec le vaisseau en O ≠ O : x 0 est seule
non nulle. Décrire ce qui arrive à notre aventurier. Que
penser du câble d’amarrage utilisé pour les sorties dans
l’espace ?
R
z
y
x
O
C
6
*Limite de roche
La comète Shoemaker-Lévy 9 est passée en juillet 1992
suffisamment près de Jupiter pour se fragmenter en morceaux à cause des «forces de marées » dues à Jupiter.
On se propose, dans cet exercice, de déterminer, par un
modèle simple, la distance en dessous de laquelle la comète se disloque en s’approchant de Jupiter.
On fait les hypothèses suivantes :
• Jupiter est sphérique et homogène, de rayon R J = 71 400 km,
de masse M J = 1,91 . 10
27
kg et de masse volumique µ J ;
• la comète est sphérique et homogène, de rayon R C , de
masse volumique µ C = 1,00 . 10
3
kg . m
– 3
;
• le référentiel «Jupiterocentrique » est galiléen ;
• la comète n’est soumise qu’à l’action gravitationnelle de
Jupiter ;
• la comète est en orbite circulaire de rayon d autour de
Jupiter (avec R C << d).
1 • Écrire la relation fondamentale de la dynamique appliquée à un petit volume élémentaire, de masse dm , de la
comète dans le référentiel «Cométocentrique ».
2 • On considère un modèle dans lequel la cohésion de la
comète n’est plus assurée si le terme des marées dépasse
le champ gravitationnel propre de la comète. En se plaçant
à la périphérie de la comète pour comparer les deux termes, déduire l’ordre de grandeur de la distance limite d lim
à laquelle la comète peut s’approcher de Jupiter sans
risque (appelée «limite de roche »).
5
EXERCICES
Référentiels non galiléens usuels
8
98
Déterminer en premier lieu l’expression de la vitesse
(v
➞
0 ) en négligeant la force de Coriolis (approximation à l’ordre 0). Dans l’expression de la force de
Coriolis (c’est une perturbation par rapport au cas
précédent), remplacer la vitesse par son expression à
l’ordre 0 (v
➞
0 ) . On obtient alors l’expression de la
vitesse et de la position du point à l’ordre 1 (en W),
ce qui est suffisant compte tenu de la faiblesse des
effets étudiés.
Conseils
1) Le raisonnement est le même que celui du cours en
remplaçant le référentiel géocentrique par le référentiel «Cométocentrique » et le référentiel de Copernic
par le référentiel «Jupiterocentrique ».
2) On prendra comme ordre de grandeur du terme des
marées la valeur maximale de son module.
Conseils
1) Écrire la relation fondamentale de la dynamique
pour un mouvement circulaire (uniforme).
2) Il faut expliciter les forces de gravitation et d’inertie.
3) Gravitation et inertie d’entraînement se compensent presque, ce qui justifie l’utilisation d’un développement limité.
La photocopie non autorisée est un délit.
**Pourquoi s’amarrer
à la navette spatiale ?
Un vaisseau est en orbite circulaire de rayon R autour
d’une planète, à la vitesse angulaire W
➞ = W e
➞
z .
Un cosmonaute effectuant une sortie est au point O , relié
au vaisseau par un câble d’amarrage.
Pour les applications numériques, on prendra une période
de révolution de 2 heures autour de la Terre, de masse M .
On rappelle que g 0 , champ de pesanteur terrestre à la surface de la planète, de rayon R T = 6400 km , vaut environ
9,81 m . s
− 2
.
1 • Quelle est la relation liant la vitesse angulaire W , la
constante de gravitation G , la masse M de la planète, et
le rayon R de l’orbite ? Déterminer numériquement l’altitude de l’orbite.
2 • Établir les équations du mouvement du cosmonaute
dans le repère (O, x, y, z).
3 • Par quel terme la force d’inertie d’entraînement estelle pratiquement compensée ? Développer alors le terme
différentiel identifié à l’ordre linéaire en x/R, y/R et z/R ,
et simplifier les équations du mouvement.
4 • Le mouvement du cosmonaute selon l’axe (Oz) apparaît-il stable ?
5 • Les valeurs x 0 , y 0 , ·
x 0 et ·
y 0 et initiales étant données,
déterminer les expressions de x(t) et y(t).
6 • Le cosmonaute part de O avec une petite vitesse
radiale : ·
x 0 est seule non nulle. Va -t-il s’éloigner indéfiniment de son vaisseau ?
7 • Le cosmonaute n’a pas de vitesse relative initiale, mais
perd le contact avec le vaisseau en O ≠ O : x 0 est seule
non nulle. Décrire ce qui arrive à notre aventurier. Que
penser du câble d’amarrage utilisé pour les sorties dans
l’espace ?
R
z
y
x
O
C
6
*Limite de roche
La comète Shoemaker-Lévy 9 est passée en juillet 1992
suffisamment près de Jupiter pour se fragmenter en morceaux à cause des «forces de marées » dues à Jupiter.
On se propose, dans cet exercice, de déterminer, par un
modèle simple, la distance en dessous de laquelle la comète se disloque en s’approchant de Jupiter.
On fait les hypothèses suivantes :
• Jupiter est sphérique et homogène, de rayon R J = 71 400 km,
de masse M J = 1,91 . 10
27
kg et de masse volumique µ J ;
• la comète est sphérique et homogène, de rayon R C , de
masse volumique µ C = 1,00 . 10
3
kg . m
– 3
;
• le référentiel «Jupiterocentrique » est galiléen ;
• la comète n’est soumise qu’à l’action gravitationnelle de
Jupiter ;
• la comète est en orbite circulaire de rayon d autour de
Jupiter (avec R C << d).
1 • Écrire la relation fondamentale de la dynamique appliquée à un petit volume élémentaire, de masse dm , de la
comète dans le référentiel «Cométocentrique ».
2 • On considère un modèle dans lequel la cohésion de la
comète n’est plus assurée si le terme des marées dépasse
le champ gravitationnel propre de la comète. En se plaçant
à la périphérie de la comète pour comparer les deux termes, déduire l’ordre de grandeur de la distance limite d lim
à laquelle la comète peut s’approcher de Jupiter sans
risque (appelée «limite de roche »).
5
EXERCICES
Référentiels non galiléens usuels
8
98
Déterminer en premier lieu l’expression de la vitesse
(v
➞
0 ) en négligeant la force de Coriolis (approximation à l’ordre 0). Dans l’expression de la force de
Coriolis (c’est une perturbation par rapport au cas
précédent), remplacer la vitesse par son expression à
l’ordre 0 (v
➞
0 ) . On obtient alors l’expression de la
vitesse et de la position du point à l’ordre 1 (en W),
ce qui est suffisant compte tenu de la faiblesse des
effets étudiés.
Conseils
1) Le raisonnement est le même que celui du cours en
remplaçant le référentiel géocentrique par le référentiel «Cométocentrique » et le référentiel de Copernic
par le référentiel «Jupiterocentrique ».
2) On prendra comme ordre de grandeur du terme des
marées la valeur maximale de son module.
Conseils
1) Écrire la relation fondamentale de la dynamique
pour un mouvement circulaire (uniforme).
2) Il faut expliciter les forces de gravitation et d’inertie.
3) Gravitation et inertie d’entraînement se compensent presque, ce qui justifie l’utilisation d’un développement limité.