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4 • Oscillateur harmonique
4.4 FONCTION D’ONDE
4.4.1 État fondamental
Pour déterminer explicitement les états propres de l’oscillateur harmonique, plaçonsnous dans la réalisation−x, c’est-à-dire cherchons les fonctions d’onde c(x) du système.
Le vecteur de l’état fondamental, |0, vérifie l’équation (4.2.22), à savoir :
A|0 = 0
( 4 .4.1)
Compte tenu de l’expression de A, l’équation (4.4.1) s’écrit :
mv
2
X +
i
√
2m v
P x
|0 = 0
( 4 .4.2)
Notons c 0 la fonction d’onde de l’état fondamental, avec c 0 (x) = x | 0. En
réalisation−x, l’équation (4.4.2) s’écrit :
mv
x +
d
dx
c 0 = 0
( 4 .4.3)
C’est une équation différentielle qu’on peut mettre sous la forme dy/y = ax dx. On
obtient ainsi pour solution :
c 0 (x) = C exp
−
mv
2
x
2
(4.4.4)
La constante d’intégration C est obtenue par normalisation de la fonction d’onde,
soit :
|C|
2 =
mv
p
1/2
(4.4.5)
Puisque c 0 (x) est définie à un coefficient de phase près, on peut choisir une valeur
réelle pour C, d’où :
c 0 (x) =
mv
p
1/4
exp
−
mv
2
x
2
(4.4.6)
C’est la fonction d’onde représentant l’état fondamental de l’oscillateur harmonique.
La densité de probabilité de présence |c 0 (x)|
2 donne l’extension spatiale des oscillations.
4.4.2 Fonctions propres
Afin de déterminer les fonctions d’onde des états propres de l’oscillateur, utilisons
la variable Q, définie par (4.2.2), permettant d’obtenir des expressions plus simples
qu’avec la variable x. L’équation (4.4.3) s’écrit :
d
dQ
+ Q
c 0 (Q) = 0
( 4 .4.7)
4 • Oscillateur harmonique
4.4 FONCTION D’ONDE
4.4.1 État fondamental
Pour déterminer explicitement les états propres de l’oscillateur harmonique, plaçonsnous dans la réalisation−x, c’est-à-dire cherchons les fonctions d’onde c(x) du système.
Le vecteur de l’état fondamental, |0, vérifie l’équation (4.2.22), à savoir :
A|0 = 0
( 4 .4.1)
Compte tenu de l’expression de A, l’équation (4.4.1) s’écrit :
mv
2
X +
i
√
2m v
P x
|0 = 0
( 4 .4.2)
Notons c 0 la fonction d’onde de l’état fondamental, avec c 0 (x) = x | 0. En
réalisation−x, l’équation (4.4.2) s’écrit :
mv
x +
d
dx
c 0 = 0
( 4 .4.3)
C’est une équation différentielle qu’on peut mettre sous la forme dy/y = ax dx. On
obtient ainsi pour solution :
c 0 (x) = C exp
−
mv
2
x
2
(4.4.4)
La constante d’intégration C est obtenue par normalisation de la fonction d’onde,
soit :
|C|
2 =
mv
p
1/2
(4.4.5)
Puisque c 0 (x) est définie à un coefficient de phase près, on peut choisir une valeur
réelle pour C, d’où :
c 0 (x) =
mv
p
1/4
exp
−
mv
2
x
2
(4.4.6)
C’est la fonction d’onde représentant l’état fondamental de l’oscillateur harmonique.
La densité de probabilité de présence |c 0 (x)|
2 donne l’extension spatiale des oscillations.
4.4.2 Fonctions propres
Afin de déterminer les fonctions d’onde des états propres de l’oscillateur, utilisons
la variable Q, définie par (4.2.2), permettant d’obtenir des expressions plus simples
qu’avec la variable x. L’équation (4.4.3) s’écrit :
d
dQ
+ Q
c 0 (Q) = 0
( 4 .4.7)