4.5 Fonction d’onde
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et la fonction d’onde c 0 (Q), normalisée dans l’espace Q, prend la forme :
c 0 (Q) = p
−1/4 exp
−Q
2
2
(4.4.8)
L’opérateur A
† a pour expression en fonction de la variable Q :
A
† =
1
√
2
Q −
d
dQ
(4.4.9)
Une relation identique à (4.3.2) existe pour les fonctions d’onde, soit :
c n (Q) =
1
√
n!
(A
† )
n c 0 (Q)
( 4 .4.10)
En remplaçant A
† par son expression (4.4.9), on obtient les fonctions d’onde :
c n (Q) =
1
√
p 2 n n!
1/2
Q −
d
dQ
n
exp
−Q
2
2
(4.4.11)
Utilisons l’identité suivante entre opérateurs :
Q −
d
dQ
= − exp(Q
2 /2)
d
dQ
exp(−Q
2 /2)
(4.4.12)
Appliquons n fois cette identité (exercice 4.3) et reportons dans l’expression (4.4.11)
de c n (Q) ; on obtient :
c n (Q) = (
√
p 2
n n!)
−1/2 exp(−Q
2 /2)H n (Q)
( 4 .4.13)
où les fonctions H n (Q) sont les polynômes d’Hermite définis par :
H n (Q) = (−1)
n exp(Q
2 )
d
n
dQ n exp(−Q
2 )
( 4 .4.14)
➤ Densité de probabilité de présence
La fonction propre (4.4.6) donne pour expression de la probabilité de présence de la
particule oscillante dans son état fondamental :
|c 0 (x)|
2 =
mv
p
1/2
exp
−
mv
x
2
(4.4.15)
Cette expression est représentée par une courbe de Gauss ; la probabilité de présence
maximale se situe en sa position d’équilibre, x = 0.
Lorsqu’on considère des états c n (x) correspondant à des niveaux d’énergie de
plus en plus élevés, la fréquence des oscillations s’accroît. On constate alors que les
maxima de probabilité de présence se situent au voisinage des positions extrêmes
d’oscillation.