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4 • Oscillateur harmonique
4.5 SYSTÈME DE DEUX PARTICULES EN INTERACTION
L’étude des vibrations des noyaux d’une molécule diatomique est une application
simple des résultats obtenus pour l’oscillateur harmonique. Nous allons voir qu’on
peut en effet ramener le problème des vibrations des deux noyaux atomiques de la
molécule à celui plus simple d’une masse fictive vibrant dans un potentiel harmonique.
Pour cela, nous allons d’abord étudier le problème général de deux particules en
interaction qui ne sont soumises à aucune force extérieure, ce qui est le cas précisément de l’oscillateur harmonique.
En mécanique classique, le problème du mouvement de deux particules en interaction peut être réduit à celui d’une seule particule, en séparant le mouvement du centre
de masse et celui autour de ce centre. Nous allons voir qu’une séparation analogue
peut être réalisée en mécanique quantique.
4.5.1 Équation de Schrödinger
Considérons deux particules de masses respectives m 1 et m 2 ; soient r 1 et r 2 les
rayons vecteurs des particules (Figure 4.1) ; notons r le vecteur :
r = r 1 − r 2
(4.5.1)
Supposons que le système ne soit soumis à aucune
force extérieure et que l’interaction entre les particules ne dépende que de leur distance relative
r = r. Notons V(r) l’énergie potentielle d’interaction. L’opérateur hamiltonien de ce système
s’écrit :
H = −
2
2m 1
D 1 −
2
2m 2
D 2 + V(r)
(4.5.2)
où D 1 et D 2 sont les laplaciens relatifs aux coordonnées respectives de chaque particule. Introduisons le rayon vecteur R du centre d’inertie défini par :
x
y
z
0
r
r
r 1
2
m 1
m 2
Figure 4.1
R =
m 1 r 1 + m 2 r 2
m 1 + m 2
(4.5.3)
Notons X, Y, Z les composantes de R ; x, y, z, celles de r ; x 1 , y 1 , z 1 , les composantes de r 1 et x 2 , y 2 , z 2 , celles de r 2 . Les anciennes variables x i , y i , z i sont liées aux
nouvelles par les relations (4.5.1) et (4.5.3). On a, par exemple :
x = x 1 − x 2 ; X =
m 1 x 1 + m 2 x 2
m 1 + m 2
(4.5.4)
et des relations analogues pour les autres variables. Ce changement de variables permet d’exprimer les laplaciens qui figurent dans l’hamiltonien (4.5.2) en fonction des
4 • Oscillateur harmonique
4.5 SYSTÈME DE DEUX PARTICULES EN INTERACTION
L’étude des vibrations des noyaux d’une molécule diatomique est une application
simple des résultats obtenus pour l’oscillateur harmonique. Nous allons voir qu’on
peut en effet ramener le problème des vibrations des deux noyaux atomiques de la
molécule à celui plus simple d’une masse fictive vibrant dans un potentiel harmonique.
Pour cela, nous allons d’abord étudier le problème général de deux particules en
interaction qui ne sont soumises à aucune force extérieure, ce qui est le cas précisément de l’oscillateur harmonique.
En mécanique classique, le problème du mouvement de deux particules en interaction peut être réduit à celui d’une seule particule, en séparant le mouvement du centre
de masse et celui autour de ce centre. Nous allons voir qu’une séparation analogue
peut être réalisée en mécanique quantique.
4.5.1 Équation de Schrödinger
Considérons deux particules de masses respectives m 1 et m 2 ; soient r 1 et r 2 les
rayons vecteurs des particules (Figure 4.1) ; notons r le vecteur :
r = r 1 − r 2
(4.5.1)
Supposons que le système ne soit soumis à aucune
force extérieure et que l’interaction entre les particules ne dépende que de leur distance relative
r = r. Notons V(r) l’énergie potentielle d’interaction. L’opérateur hamiltonien de ce système
s’écrit :
H = −
2
2m 1
D 1 −
2
2m 2
D 2 + V(r)
(4.5.2)
où D 1 et D 2 sont les laplaciens relatifs aux coordonnées respectives de chaque particule. Introduisons le rayon vecteur R du centre d’inertie défini par :
x
y
z
0
r
r
r 1
2
m 1
m 2
Figure 4.1
R =
m 1 r 1 + m 2 r 2
m 1 + m 2
(4.5.3)
Notons X, Y, Z les composantes de R ; x, y, z, celles de r ; x 1 , y 1 , z 1 , les composantes de r 1 et x 2 , y 2 , z 2 , celles de r 2 . Les anciennes variables x i , y i , z i sont liées aux
nouvelles par les relations (4.5.1) et (4.5.3). On a, par exemple :
x = x 1 − x 2 ; X =
m 1 x 1 + m 2 x 2
m 1 + m 2
(4.5.4)
et des relations analogues pour les autres variables. Ce changement de variables permet d’exprimer les laplaciens qui figurent dans l’hamiltonien (4.5.2) en fonction des