4.6 Système de deux particules en interaction
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nouvelles variables. Utilisons les notations suivantes :
D =
∂
2
∂x 2 +
∂
2
∂y 2 +
∂
2
∂z 2 ; D R =
∂
2
∂X 2 +
∂
2
∂Y 2 +
∂
2
∂Z 2
(4.5.5)
L’hamiltonien H donné par (4.5.2) s’écrit en fonction des nouvelles variables :
H = −
2
2m
D −
2
2(m 1 + m 2 )
D R + V(r)
( 4 .5.6)
où m est la masse réduite du système définie par :
1
m
=
1
m 1
+
1
m 2
(4.5.7)
L’équation de Schrödinger du système s’écrit alors avec l’hamiltonien sous sa nouvelle forme (4.5.6) :
HC(r, R) = EC(r, R)
( 4 .5.8)
où C dépend des nouvelles variables : C(r, R) = C(x, y, z ; X, Y, Z).
4.5.2 Séparation des variables
L’énergie potentielle V(r) ne dépendant que des variables x, y, z, nous allons voir
qu’on peut utiliser la méthode de séparation des variables pour simplifier la résolution de l’équation (4.5.8). Pour cela, cherchons une solution sous la forme :
C(r, R) = c(r) f(R)
( 4 .5.8)
Substituant l’expression (4.5.8) dans l’équation de Schrödinger, on obtient par séparation des variables, les deux équations :
−
2
2m
D + V(r)
c(r) = E 1 c(r)
( 4 .5.9)
−
2
2(m 1 + m 2 )
D R f(R) = E 2 f(R)
( 4 .5.10)
avec E 1 + E 2 = E. La fonction d’onde c(r) décrit le mouvement relatif des deux
particules en tant que mouvement d’une particule fictive de masse m dans un potentiel
V(r). L’équation (4.5.9) est l’équation de Schrödinger de ces mouvements relatifs et
E 1 est l’énergie du système résultant de l’interaction des deux particules.
La fonction f(R) décrit le mouvement du centre de masse en tant que mouvement
libre d’une particule de masse totale (m 1 + m 2 ). L’équation (4.5.10) est l’équation de
Schrödinger décrivant ce mouvement ; E 2 est l’énergie de translation de l’ensemble
des deux particules.