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4 • Oscillateur harmonique
4.6 VIBRATIONS D’UNE MOLÉCULE DIATOMIQUE
4.6.1 Énergie potentielle d’interaction
Considérons une molécule formée de deux atomes de masses respectives m 1 et m 2 .
L’interaction entre ces atomes est complexe puisque les noyaux et les électrons interagissent entre eux. L’expression de l’énergie potentielle d’interaction, V(r), où r
est la distance séparant les noyaux atomiques considérés comme ponctuels, est donc
difficile à déterminer. Cependant, son allure générale peut être obtenue à partir de
quelques remarques simples.
r
0
V(r 0 )
r 0
Figure 4.2
Puisque la molécule est supposée stable, son
énergie potentielle va présenter un minimum
(Figure 4.2) correspondant à la position d’équilibre, notée r 0 , des noyaux. Lorsque r devient
très grand, l’interaction entre les deux atomes
doit devenir nulle et nous prendrons une valeur
nulle pour le potentiel lorsque r devient infini.
Lorsque r tend vers zéro, l’énergie potentielle tend vers l’infini par suite d’une compression de la liaison chimique.
Le puits de potentiel obtenu est disymétrique
mais, au voisinage de la position d’équilibre r 0 ,
il peut être décrit en première approximation par un puits parabolique en utilisant un
développement limité au second ordre de V(r) au voisinage de r 0 , soit :
V(r) = V(r 0 ) +
1
2
V
(r 0 ) (r − r 0 )
2
(4.6.1)
➤ Oscillateur harmonique
On est ainsi ramené à l’étude d’un oscillateur harmonique à une dimension. Pour
cela, on utilise l’équation de Schödinger (4.5.9) décrivant les mouvements oscillatoires des deux noyaux atomiques. La variable x de l’équation est, dans ce cas, égale
à : x = r − r 0 . Le coefficient k qui figure dans l’équation de l’oscillateur harmonique
est donné par : k = V
(r 0 ).
La profondeur du puits de potentiel est égale à V(r 0 ). La valeur V(r 0 ) de l’énergie
d’interaction est celle qu’il faut fournir aux atomes pour les éloigner suffisamment
l’un de l’autre et, donc, pour dissocier la molécule ; c’est l’énergie de dissociation de
la molécule.
Les niveaux d’énergie des états vibratoires de la molécule sont donnés par la formule (4.2.26), soit, en tenant compte du potentiel à l’équilibre :
E n = v
n +
1
2
+ V(r 0 )
( 4 .6.2)
où la valeur de V(r 0 ) est négative.
4 • Oscillateur harmonique
4.6 VIBRATIONS D’UNE MOLÉCULE DIATOMIQUE
4.6.1 Énergie potentielle d’interaction
Considérons une molécule formée de deux atomes de masses respectives m 1 et m 2 .
L’interaction entre ces atomes est complexe puisque les noyaux et les électrons interagissent entre eux. L’expression de l’énergie potentielle d’interaction, V(r), où r
est la distance séparant les noyaux atomiques considérés comme ponctuels, est donc
difficile à déterminer. Cependant, son allure générale peut être obtenue à partir de
quelques remarques simples.
r
0
V(r 0 )
r 0
Figure 4.2
Puisque la molécule est supposée stable, son
énergie potentielle va présenter un minimum
(Figure 4.2) correspondant à la position d’équilibre, notée r 0 , des noyaux. Lorsque r devient
très grand, l’interaction entre les deux atomes
doit devenir nulle et nous prendrons une valeur
nulle pour le potentiel lorsque r devient infini.
Lorsque r tend vers zéro, l’énergie potentielle tend vers l’infini par suite d’une compression de la liaison chimique.
Le puits de potentiel obtenu est disymétrique
mais, au voisinage de la position d’équilibre r 0 ,
il peut être décrit en première approximation par un puits parabolique en utilisant un
développement limité au second ordre de V(r) au voisinage de r 0 , soit :
V(r) = V(r 0 ) +
1
2
V
(r 0 ) (r − r 0 )
2
(4.6.1)
➤ Oscillateur harmonique
On est ainsi ramené à l’étude d’un oscillateur harmonique à une dimension. Pour
cela, on utilise l’équation de Schödinger (4.5.9) décrivant les mouvements oscillatoires des deux noyaux atomiques. La variable x de l’équation est, dans ce cas, égale
à : x = r − r 0 . Le coefficient k qui figure dans l’équation de l’oscillateur harmonique
est donné par : k = V
(r 0 ).
La profondeur du puits de potentiel est égale à V(r 0 ). La valeur V(r 0 ) de l’énergie
d’interaction est celle qu’il faut fournir aux atomes pour les éloigner suffisamment
l’un de l’autre et, donc, pour dissocier la molécule ; c’est l’énergie de dissociation de
la molécule.
Les niveaux d’énergie des états vibratoires de la molécule sont donnés par la formule (4.2.26), soit, en tenant compte du potentiel à l’équilibre :
E n = v
n +
1
2
+ V(r 0 )
( 4 .6.2)
où la valeur de V(r 0 ) est négative.